透過非標準取樣實現譜等價性

Q: 此方法如何應用於無限維希爾伯特空間和無界算子的情況？

此方法的核心是將無限維問題「有限化」。對於無限維希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 和無界算子 $A$，我們可以通過「取樣」的方式構造一個「有限維」的內部希爾伯特空間 $\tilde{\mathcal{H}}$ 和內部對稱算子 $\tilde{A}$。 具體來說： 構造內部希爾伯特空間： 選取一個包含 $\text{dom}(A)$ 的超有限子集 $S \subset *\text{dom}(A)$，並令 $\tilde{\mathcal{H}} = *\text{span}(S)$。由於 $S$ 是超有限的，$\tilde{\mathcal{H}}$ 可以看作一個「有限維」的內部希爾伯特空間。 構造內部對稱算子： 令 $\tilde{A} := (\text{proj}{\tilde{\mathcal{H}}} \circ *A)|{\tilde{\mathcal{H}}}: \tilde{\mathcal{H}} \rightarrow \tilde{\mathcal{H}}$。這裡 $\text{proj}_{\tilde{\mathcal{H}}}$ 是到 $\tilde{\mathcal{H}}$ 上的正交投影。可以證明 $\tilde{A}$ 是 $\tilde{\mathcal{H}}$ 上的一個內部對稱算子，並且滿足 $\text{st}(\text{G}(\tilde{A})) \subset \text{G}(A^)$，其中 $A^$ 是 $A$ 的伴隨算子。 通過這種方式，我們將無限維問題轉化為了一個「有限維」的內部問題。然後，我們可以利用有限維譜定理，找到 $\tilde{A}$ 的特徵向量組成的標準正交基 $\tilde{\Omega}$，並構造一個內部機率測度 $\tilde{\mu}$。最後，通過 Loeb 測度空間和非標準外殼技術，我們可以將這些內部對象「標準化」，得到一個緊緻度量空間 $(\hat{\Omega}, \hat{d})$、一個機率測度 $\hat{\mu}$、一個自伴乘法算子 $T$ 以及一個等距算子 $U: \mathcal{H} \rightarrow L^2(\hat{\Omega}, \hat{\mu})$，滿足 $T \circ U$ 延拓 $U \circ A$。 需要注意的是，由於算子 $A$ 是無界的，我們需要引入「標準偏差尺度」的概念，以保證構造的 Loeb 測度空間和非標準外殼空間具有良好的性質。

Q: 是否存在其他非標準分析技術可以應用於譜理論？

除了文中提到的 Loeb 測度空間和非標準外殼技術，還有一些其他的非標準分析技術可以應用於譜理論，例如： 超有限矩陣逼近: 對於一些特定的算子，例如緊算子，我們可以使用超有限矩陣來逼近它們，並利用有限維譜定理得到相應的結果。 內部譜理論: 非標準分析可以讓我們在內部世界中發展出一套完整的譜理論，包括內部譜、內部譜分辨率等概念。這些概念可以幫助我們更深入地理解標準譜理論。 非標準函數演算: 非標準分析可以讓我們將標準函數演算推廣到內部函數，從而得到更廣泛的應用。 這些技術都為譜理論的研究提供了新的思路和方法。

Q: 此方法與量子力學中的譜理論之間是否存在聯繫？

量子力學中的算子通常是定義在無限維希爾伯特空間上的無界自伴算子，而譜理論正是研究这类算子的有力工具。文中提到的非標準分析方法可以看作是量子力學中譜理論的一種新的數學表述方式。 例如，在量子力學中，一個物理量的期望值可以表示為對應算子的譜測度的積分。利用非標準分析，我們可以將這個積分表示為一個內部和，並通過 Loeb 測度將其標準化，從而得到與標準量子力學一致的結果。 此外，非標準分析還可以應用於量子場論等更為複雜的量子理論中，為這些理論的數學基礎提供新的视角。

核心概念

本文提出了一種方法，給定希爾伯特空間 H 和對稱算子 A，可以將 H 嵌入到 L2 空間中，並透過乘法算子擴展 A。

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標題： 透過非標準取樣實現譜等價性
作者： FABRICE NONEZ
識別碼： arXiv:2411.06281v1 [math.FA] 9 Nov 2024

本研究旨在介紹一種新的方法，將給定的希爾伯特空間嵌入到 L2 空間中，並透過乘法算子擴展對稱算子。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Spectral equivalences through nonstandard samplings

by Fabrice None... 於 arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.06281.pdf

Spectral equivalences through nonstandard samplings

深入探究

此方法如何應用於無限維希爾伯特空間和無界算子的情況？

此方法的核心是將無限維問題「有限化」。對於無限維希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 和無界算子 $A$，我們可以通過「取樣」的方式構造一個「有限維」的內部希爾伯特空間 $\tilde{\mathcal{H}}$ 和內部對稱算子 $\tilde{A}$。
具體來說：

構造內部希爾伯特空間： 選取一個包含 $\text{dom}(A)$ 的超有限子集 $S \subset *\text{dom}(A)$，並令 $\tilde{\mathcal{H}} = *\text{span}(S)$。由於 $S$ 是超有限的，$\tilde{\mathcal{H}}$ 可以看作一個「有限維」的內部希爾伯特空間。
構造內部對稱算子：  令 $\tilde{A} := (\text{proj}{\tilde{\mathcal{H}}} \circ *A)|{\tilde{\mathcal{H}}}: \tilde{\mathcal{H}} \rightarrow \tilde{\mathcal{H}}$。這裡 $\text{proj}_{\tilde{\mathcal{H}}}$ 是到 $\tilde{\mathcal{H}}$ 上的正交投影。可以證明 $\tilde{A}$ 是 $\tilde{\mathcal{H}}$ 上的一個內部對稱算子，並且滿足 $\text{st}(\text{G}(\tilde{A})) \subset \text{G}(A^)$，其中 $A^$ 是 $A$ 的伴隨算子。

通過這種方式，我們將無限維問題轉化為了一個「有限維」的內部問題。然後，我們可以利用有限維譜定理，找到 $\tilde{A}$ 的特徵向量組成的標準正交基 $\tilde{\Omega}$，並構造一個內部機率測度 $\tilde{\mu}$。最後，通過 Loeb 測度空間和非標準外殼技術，我們可以將這些內部對象「標準化」，得到一個緊緻度量空間 $(\hat{\Omega}, \hat{d})$、一個機率測度 $\hat{\mu}$、一個自伴乘法算子 $T$ 以及一個等距算子 $U: \mathcal{H} \rightarrow L^2(\hat{\Omega}, \hat{\mu})$，滿足 $T \circ U$ 延拓 $U \circ A$。
需要注意的是，由於算子 $A$ 是無界的，我們需要引入「標準偏差尺度」的概念，以保證構造的 Loeb 測度空間和非標準外殼空間具有良好的性質。

是否存在其他非標準分析技術可以應用於譜理論？

除了文中提到的 Loeb 測度空間和非標準外殼技術，還有一些其他的非標準分析技術可以應用於譜理論，例如：

超有限矩陣逼近:  對於一些特定的算子，例如緊算子，我們可以使用超有限矩陣來逼近它們，並利用有限維譜定理得到相應的結果。
內部譜理論:  非標準分析可以讓我們在內部世界中發展出一套完整的譜理論，包括內部譜、內部譜分辨率等概念。這些概念可以幫助我們更深入地理解標準譜理論。
非標準函數演算:  非標準分析可以讓我們將標準函數演算推廣到內部函數，從而得到更廣泛的應用。
這些技術都為譜理論的研究提供了新的思路和方法。

此方法與量子力學中的譜理論之間是否存在聯繫？

量子力學中的算子通常是定義在無限維希爾伯特空間上的無界自伴算子，而譜理論正是研究这类算子的有力工具。文中提到的非標準分析方法可以看作是量子力學中譜理論的一種新的數學表述方式。
例如，在量子力學中，一個物理量的期望值可以表示為對應算子的譜測度的積分。利用非標準分析，我們可以將這個積分表示為一個內部和，並通過 Loeb 測度將其標準化，從而得到與標準量子力學一致的結果。
此外，非標準分析還可以應用於量子場論等更為複雜的量子理論中，為這些理論的數學基礎提供新的视角。