適應性傳輸的一般對偶性與對偶達成性

核心概念

本文探討了適應性最佳傳輸問題（包括因果和雙因果傳輸、重心問題以及包含因果約束的多邊際問題）在最小假設下的對偶性和對偶最佳解的存在性，並將其應用於穩健金融中的避險問題。

摘要

適應性傳輸的一般對偶性與對偶達成性

摘要

本文研究了在最小假設下，幾種適應性最佳傳輸問題的對偶性和對偶最佳解的存在性。這些問題包括因果和雙因果傳輸、因果和雙因果重心問題，以及包含因果約束的多邊際問題。此外，本文還刻畫了因果和雙因果設定下的極集，並討論了研究結果在穩健金融中的應用。本文考慮了一個非支配的多個金融市場模型，其中股票是動態交易的，但聯合股票動態是未知的。本文表明，無套利假設自然導致了多重因果耦合集。因此，計算穩健的超避險價格等同於解決一個適應性傳輸問題，而找到一個超避險策略意味著解決相應的對偶問題。

引言

對偶性理論是現代最佳傳輸的組成部分，其根源可以追溯到 20 世紀 40 年代 Kantorovich 的開創性工作，隨後由 Kantorovich 和 Rubinstein、Dudley、Kellerer、Knott 和 Smith、Brenier、Gangbo 和 McCann 以及許多其他人進行了擴展。它引起了數學界的興趣，並發展成為一個經過充分研究的工具。其眾多應用包括研究最佳傳輸計劃的量化性質、最佳傳輸問題的穩定性，並應用於統計學、計算機科學、機器學習和圖像處理等領域。在這項工作中，我們研究了幾種適應性最佳傳輸問題的對偶問題，並在非常一般的設定下提供了對偶性結果並證明了對偶達成性。我們進一步討論了研究結果在穩健避險中的應用，並使用動態規劃方法提供了額外的直覺。

主要結果

適應性最佳傳輸

適應性最佳傳輸大量借鑒了最佳傳輸的思想。考慮兩個在 RT 上的機率測度，例如 µ, ν ∈ P(RT)，其中 T ∈ N。給定一個成本函數 c : RT × RT −→ R，任務是找到一種有效的方法將 µ 移動到 ν，其中傳輸方面通過傳輸映射形式化。從 µ 到 ν 的傳輸映射 S : RT −→ RT 是一個可測映射，滿足推送約束 S#µ = ν。粗略地說，µ 放在 x 處的所有質量都被移動到 S(x)，這會產生成本 c(x, S(x))，因此總傳輸成本為 ∫ c(x, S(x))µ(dx)。由於傳輸映射的概念有其自然的局限性，因此我們考慮耦合，它可以理解為隨機傳輸計劃。µ 和 ν 之間的耦合 π ∈ P(RT × RT) 是一個機率測度，使得 π(dx × RT) = µ(dx) 和 π(RT × dy) = ν(dy)，並產生傳輸成本 ∫ c(x, y)π(dx, dy)。µ 和 ν 之間的所有耦合的集合表示為 Cpl(µ, ν)。

適應性傳輸將這種方法擴展到隨機過程。讓我們將 RT 視為 T 個時間步長中實值路徑的路徑空間，並將 µ, ν 視為過程的規律。我們不考慮所有傳輸映射，而是限制於那些具有 S#µ = ν 的適應性傳輸映射 S : RT −→ RT，有時也稱為因果傳輸映射。也就是說，

S(x1, . . . , xT) = (S1(x1), . . . , ST(x1, . . . , xT)), (x1, . . . , xT) ∈ RT,

其中 St : Rt −→ R，t ∈ {1, . . . , T}。我們注意到，在上述公式中，S 在時間 t 的值不依賴於路徑 (x1, . . . , xT) 的未來演變。從這個意義上說，S 適應於時間 t 可用的信息。如上所述，我們通過考慮耦合來放鬆問題，例如，參見 Beiglböck、Pammer 和 Schrott 最近的研究。因此，我們必須充分地轉換上述公式。如果

(X1, . . . , XT) 在給定 (X1, . . . , Xt) 的情況下獨立於 (Y1, . . . , Yt)，

則 µ 和 ν 之間的耦合 π 稱為因果耦合，其中 (X, Y) 根據 π 分佈，對於所有 t ∈ {1, . . . , T − 1}。此外，如果當 X 和 Y 的角色互換時，上述公式仍然成立，則我們稱 π 為雙因果耦合。µ 和 ν 之間的所有因果耦合（分別為雙因果耦合）的集合表示為 Cplc(µ, ν)（分別為 Cplbc(µ, ν)）。對偶變量 Sc(µ, ν)（分別為 Sbc(µ, ν)）的集合是 RT × RT 上實值可測函數的子集，這些函數在 Cplc(µ, ν)（分別為 Cplbc(µ, ν)）中的耦合下具有一定的鞅性質。它們將在第 4.1 節中嚴格定義。作為我們對適應性傳輸的主要貢獻，我們建立了對偶性和對偶達成性：

定理 2.1 令 c : RT × RT −→ R ∪ {−∞} 是可測的並且從上方有界。然後

CWc(µ, ν) := inf_{π∈Cplc(µ,ν)} ∫ c(x, y)π(dx, dy) = sup_{s∈Sc(µ,ν), s≤c} ∫ s(x, y)(µ ⊗ ν)(dx, dy),

AWc(µ, ν) := inf_{π∈Cplbc(µ,ν)} ∫ c(x, y)π(dx, dy) = sup_{s∈Sbc(µ,ν), s≤c} ∫ s(x, y)(µ ⊗ ν)(dx, dy).

此外，如果上述公式中的任何一邊都是有限的，則相應的右手邊都可以達到。

備註 2.2 (i) 在這裡，我們的主要貢獻是證明了可測成本函數的對偶性，以及對偶的達成性。到目前為止，只有一些關於在某些連續性假設下的對偶性的結果：Backhoff-Veraguas、Beiglböck、Lin 和 Zalashko 處理了因果設定，要求成本函數的下半連續性和從下方有界，以及與邊際相關的連續崩解核的弱連續性。Eckstein 和 Pammer 證明了因果和雙因果最佳傳輸問題的對偶性，假設成本函數是下半連續的並且從下方有界。相比之下，定理 2.1 建立了從上方有界的通用可測成本函數的對偶性。此外，據我們所知，這是第一個處理適應性最佳傳輸中對偶問題的達成性的結果。

(ii) 定理 2.1 中關於成本函數具有上界的假設可以放寬為由可積函數從上方有界。我們參考定理 4.6 和 4.8 了解更多細節。

(iii) 雖然上述公式中的對偶問題可以達到，但在這種一般性情況下，原始問題不一定可以達到。

備註 2.3 如前所述，對偶問題在研究原始問題和原始最佳解的性質時非常重要。因此，研究它的達成性是很自然的。此外，受標準最佳傳輸的啟發，例如，參見 Kellerer 和 Beiglböck、Léonard 和 Schachermayer，成本函數的可測性是獲得對偶性的自然條件。

有鑑於此，[7; 33] 中考慮的下半連續性假設似乎過於嚴格。

結論

本文證明了在最小假設下，幾種適應性最佳傳輸問題的對偶性和對偶最佳解的存在性。這些結果為適應性最佳傳輸的理論和應用提供了新的見解。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

General duality and dual attainment for adapted transport

by Dani... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2401.11958.pdf

深入探究

如何將本文的結果推廣到更一般的空間和成本函數？

本文的結果主要集中在波蘭空間和滿足一定條件的成本函數上。為了將這些結果推廣到更一般的空間和成本函數，可以考慮以下幾個方向：

推廣到更一般的度量空間： 可以嘗試將波蘭空間的結果推廣到更一般的度量空間，例如完備可分度量空間。這可能需要使用更一般的測度理論工具，例如 Radon 測度和弱*拓撲。
放鬆對成本函數的限制： 本文主要考慮了有界或滿足可積性條件的成本函數。可以嘗試放鬆這些限制，例如考慮具有更一般增長性的成本函數。這可能需要使用更精細的分析技巧，例如 Orlicz 空間和 Young 測度。
考慮更一般的隨機過程： 本文主要考慮了有限時間區間上的離散時間隨機過程。可以嘗試將結果推廣到連續時間隨機過程或無限時間區間上的隨機過程。這可能需要使用隨機分析和隨機控制的更高級工具。
需要注意的是，將結果推廣到更一般的設定可能會帶來新的技術挑戰。例如，在更一般的空間中，可能需要更複雜的拓撲結構來確保對偶問題的最優解的存在性。

是否存在其他類型的約束可以納入適應性最佳傳輸問題中，例如平滑性或稀疏性約束？

是的，除了因果關係約束之外，還可以將其他類型的約束納入適應性最佳傳輸問題中，例如：

平滑性約束： 可以通過對傳輸計劃施加正則化項來鼓勵更平滑的傳輸計劃。例如，可以使用 Wasserstein 距離的平方作為正則化項，這將鼓勵傳輸計劃在時間上更加平滑。
稀疏性約束： 可以通過對傳輸計劃施加稀疏性約束來鼓勵更稀疏的傳輸計劃。例如，可以限制在每個時間步長中可以進行交易的資產數量，或者對交易量施加 L1 正則化。
其他約束： 根據具體應用，還可以考慮其他類型的約束，例如預算約束、風險度量約束或市場影響約束。
將這些約束納入適應性最佳傳輸問題中可以使其更符合實際應用。例如，在金融應用中，平滑性約束可以反映交易成本，而稀疏性約束可以反映投資組合的限制。

本文的結果如何應用於其他領域，例如機器學習或圖像處理？

適應性最佳傳輸及其對偶理論在機器學習和圖像處理中具有廣泛的應用前景，例如：

領域自適應： 適應性最佳傳輸可以用於將一個領域的知識遷移到另一個領域。例如，可以使用適應性最佳傳輸將在標記數據集上訓練的圖像分類器適應到未標記數據集。
時間序列分析： 適應性最佳傳輸可以用於分析和比較時間序列數據。例如，可以使用適應性 Wasserstein 距離來衡量兩個時間序列之間的相似性，或者使用適應性最佳傳輸來對時間序列數據進行聚類。
圖像生成： 適應性最佳傳輸可以用於生成具有特定屬性的圖像。例如，可以使用適應性最佳傳輸來生成與給定圖像風格相似的圖像，或者生成具有特定紋理或形狀的圖像。
總之，適應性最佳傳輸及其對偶理論為解決機器學習和圖像處理中的各種問題提供了一個強大的框架。隨著該領域的進一步發展，預計將會出現更多基於適應性最佳傳輸的應用。