適用於 Run-and-Tumble 粒子的轉移路徑採樣

核心概念

本文將轉移路徑採樣演算法推廣至 Run-and-Tumble 粒子，並探討了此類粒子在克服能量障礙以尋找目標時的行為。

摘要

簡介
本文介紹了一種適用於 Run-and-Tumble 粒子 (RTP) 的轉移路徑採樣 (TPS) 演算法，並探討了此類粒子在克服能量障礙以尋找目標時的行為。RTP 是一種活躍粒子模型，其運動軌跡由持續時間呈指數分佈的被動和主動階段交替組成。在主動階段，粒子以恆定速度沿特定方向自推進，而在被動階段，粒子則進行標準的平移擴散。
方法
TPS 演算法是一種基於蒙地卡羅採樣的增強採樣技術，用於有效地生成反應軌跡的馬可夫鏈。該演算法通過從現有軌跡中選擇一個隨機點（稱為「射擊點」），並向前和向後整合運動方程式，直到新軌跡到達反應物或目標區域，從而生成新的反應軌跡。新軌跡的接受或拒絕基於 Metropolis 接受概率，該概率確保了反應軌跡空間中的詳細平衡條件。
由於 RTP 缺乏微觀可逆性，因此需要定義適當的向後動力學，並推導出一致的接受概率，以便在 TPS 方案中對反應路徑系綜進行採樣。本文提出了一種向後動力學，其中自推進方向首先被更新，然後在更新粒子的位置時使用。
結果與討論
通過將 TPS 演算法獲得的結果與直接整合 Langevin 運動方程式獲得的結果進行比較，驗證了該演算法的有效性。研究結果表明，RTP 的目標搜尋行為表現出豐富的現象學，具體取決於決定兩個階段平均持續時間的速率。
當被動階段和主動階段的平均持續時間相當時，RTP 的目標搜尋行為類似於具有較大（有效）擴散係數的標準被動布朗粒子。然而，當主動階段的平均持續時間遠大於被動階段的平均持續時間時，RTP 的行為更類似於 ABP，其反應軌跡中粒子會在能量壁上「衝浪」一段時間，然後才落入目標盆地。
有趣的是，RTP 在主動階段和被動階段之間的頻繁切換可以顯著減少平均轉移路徑時間，這歸因於自推進方向在翻滾事件期間的隨機化。這種隨機化使 RTP 能夠更容易地從能量壁上脫離，從而增加了從反應物到目標相對筆直的路徑的頻率，並提高了其到達目標的總體機率。
結論
本文將 TPS 演算法推廣至 RTP，這為研究活躍粒子的目標搜尋行為提供了一種強大的工具。研究結果表明，翻滾是減少平均轉移路徑時間的有效方法，這對理解活躍粒子在各種實際場景中的行為具有重要意義。

統計資料

平均轉移路徑時間在被動階段到主動階段的速率為 0.2/τ 且主動階段到被動階段的速率為 0.7/τ 時達到最小值，約為 8.5τ。
純被動粒子的平均轉移時間約為 12.3τ。
ABP 粒子的平均轉移時間約為 33.18τ。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Transition-path sampling for Run-and-Tumble particles

by Thomas Kiech... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.12368.pdf

深入探究

如何將此 TPS 演算法擴展到更複雜的環境中，例如存在障礙物或流體流動的環境？

將此 TPS 演算法擴展到更複雜的環境中，需要考慮以下幾個方面：
1. 障礙物：

修改粒子運動方程： 在存在障礙物的情況下，需要修改粒子運動方程以反映粒子與障礙物之間的相互作用。這可以通過引入額外的力項（例如，排斥力）或使用其他方法（例如，反射邊界條件）來實現。
處理路徑生成： 在生成新路徑時，需要確保粒子不會穿過障礙物。這可以通過在路徑擾動步驟中檢查粒子與障礙物之間的距離來實現。如果粒子與障礙物發生碰撞，則需要拒絕該路徑或使用其他方法（例如，反射）來調整路徑。
2. 流體流動：

考慮流體速度場： 在存在流體流動的情況下，需要在粒子運動方程中考慮流體速度場的影響。這可以通過將流體速度場作為一個額外的力項添加到運動方程中來實現。
處理流體-粒子相互作用： 流體流動會對粒子的運動產生阻力和旋轉力矩。這些效應需要在粒子運動方程中得到適當的考慮。
3. 其他因素：

計算效率： 在更複雜的環境中，TPS 演算法的計算效率可能會降低。因此，可能需要採用更高效的演算法或使用並行計算技術來加速模擬。
驗證： 在將 TPS 演算法應用於更複雜的環境之前，務必通過與其他模擬方法（例如，布朗動力學模擬）進行比較來驗證其準確性。
總之，將 TPS 演算法擴展到更複雜的環境中需要仔細考慮環境因素對粒子運動的影響，並對演算法進行相應的調整。

如果 RTP 的自推進速度不是恆定的，而是隨時間或空間變化，那麼其目標搜尋行為將如何變化？

如果 RTP 的自推進速度不是恆定的，而是隨時間或空間變化，那麼其目標搜尋行為將變得更加複雜，並可能表現出以下特點：

增強的探索能力： 時變或空間變化的自推進速度可以使 RTP 更有效地探索環境，因為它可以根據環境信息調整其運動策略。例如，RTP 可以通過增加其在目標附近的速度或降低其在非目標區域的速度來提高其找到目標的概率。
出現新的運動模式： 時變或空間變化的自推進速度可能會導致 RTP 出現新的運動模式，例如，間歇性運動、螺旋運動或趨化性運動。這些新的運動模式可能會影響 RTP 的目標搜尋效率。
對噪聲的敏感性： 時變或空間變化的自推進速度可能會使 RTP 對噪聲更加敏感。這是因為噪聲可能會導致 RTP 的速度發生不可預測的變化，從而降低其目標搜尋效率。
具體而言，RTP 的目標搜尋行為將取決於自推進速度如何隨時間或空間變化。例如：

週期性變化的速度： 如果 RTP 的速度以某種週期性模式變化，則其目標搜尋行為可能會表現出與速度變化週期相關的共振現象。
空間梯度速度： 如果 RTP 的速度沿著空間梯度變化，則其目標搜尋行為可能會表現出趨化性，即 RTP 會傾向於向速度較高的區域移動。
總之，時變或空間變化的自推進速度會顯著影響 RTP 的目標搜尋行為，使其更加複雜和多樣化。

RTP 的翻滾行為與生物系統中觀察到的其他隨機搜尋策略（例如，Levy 飛行）有何關係？

RTP 的翻滾行為與生物系統中觀察到的其他隨機搜尋策略（例如，Levy 飛行）都屬於間歇性搜尋策略，這類策略通過交替的運動模式來提高搜尋效率。
RTP 的翻滾行為：

交替模式： RTP 的運動模式在持續的直線運動（"奔跑"）和隨機的重新定向（"翻滾"）之間交替。
優勢： 這種間歇性搜尋策略允許 RTP 在局部區域進行詳細探索（"奔跑" 階段），同時也保持了在更大範圍內搜尋新區域的能力（"翻滾" 階段）。
Levy 飛行：

特點： Levy 飛行是一種特殊的隨機遊走，其步長服從具有重尾的分布，例如，冪律分布。這意味著 Levy 飛行會頻繁出現長距離的跳躍。
優勢： Levy 飛行在搜尋稀疏目標時非常有效，因為長距離的跳躍可以幫助搜尋者快速穿越沒有目標的區域。
關係：

間歇性搜尋： RTP 的翻滾行為和 Levy 飛行都屬於間歇性搜尋策略，通過交替不同的運動模式來平衡局部探索和全局搜尋。
適應性： 這兩種策略都表現出對不同環境的適應性。RTP 的翻滾行為可以根據環境中的化學梯度或其他線索進行調整，而 Levy 飛行的參數（例如，步長分布）也可以根據目標的分布進行優化。
差異：

運動模式： RTP 的翻滾行為涉及兩種截然不同的運動模式（"奔跑" 和 "翻滾"），而 Levy 飛行則是一種單一的運動模式，只是步長變化很大。
數學描述： RTP 的翻滾行為通常使用微分方程或隨機微分方程來描述，而 Levy 飛行則使用概率分布來描述。
總之，RTP 的翻滾行為和 Levy 飛行都是生物系統中常見的隨機搜尋策略，它們都屬於間歇性搜尋策略，並表現出對不同環境的適應性。儘管它們在運動模式和數學描述上有所差異，但它們都體現了生物體在搜尋資源或躲避捕食者時所採用的高效策略。