核心概念
本文分析了間斷 Galerkin (DG) 方法求解二階積分代數方程的收斂性和超收斂性,發現 DG 方法可以直接獲得所有解分量的超收斂性,不同於一階積分代數方程需要迭代才能獲得超收斂性。
arXiv:2410.06687v1 [math.NA] 9 Oct 2024
研究目標:
本文旨在分析間斷 Galerkin (DG) 方法求解二階積分代數方程 (IAE) 的收斂性和超收斂性。
研究方法:
本文首先建立了用於求解第一類 Volterra 積分方程 (VIE) 的擾動 DG 方法的收斂性理論。
然後,利用該理論推導出 DG 方法求解二階 IAE 的最佳收斂性。
通過理論分析,證明了 DG 方法可以直接獲得二階 IAE 所有解分量的超收斂性。
主要發現:
對於二階 IAE,(m−1) 次 DG 近似解的第一個分量 x1(對應於第二類 VIE)在 m 為奇數時具有 m 階全局收斂性,在 m 為偶數時具有 (m−1) 階全局收斂性。
解的第二個分量 x2(對應於第一類 VIE)的收斂階數降低了兩階。
當 m 為偶數時,每個分量都表現出高一階的局部超收斂性。
當 m 為奇數時,只有當 x1 滿足 x(m)
1
(0) = 0 時才會出現超收斂性。
在此條件下,當 m 為奇數時,可以將 x2 的局部超收斂性結果擴展到全局超收斂性。
主要結論:
與一階 IAE 不同,二階 IAE 的 DG 解可以直接獲得所有分量的超收斂性,而不需要像一階 IAE 那樣通過迭代 DG 方法才能獲得超收斂性。
研究意義:
本文的研究結果為 DG 方法求解二階 IAE 提供了完整的收斂性分析,並揭示了其在求解此類方程方面的優勢。
研究限制和未來研究方向:
本文僅考慮了線性二階 IAE,未來可以進一步研究 DG 方法求解非線性或更高階 IAE 的收斂性和超收斂性。