核心概念
本文針對薛丁格-KdV系統在索伯列夫空間 Hs1 × Hs2 中的局部適定性進行研究,並證明了當 s1 ≥ 0, max{−3/4, s1−3} ≤ s2 ≤ min{4s1, s1+2} 時系統局部適定,同時該結果在一定程度上具有sharp。
摘要
論文概述
本論文研究了薛丁格-KdV系統在索伯列夫空間 Hs1 × Hs2 中的局部適定性問題。作者通過反證法證明了當 s1 ≥ 0, max{−3/4, s1−3} ≤ s2 ≤ min{4s1, s1+2} 時系統局部適定,並指出該結果在一定程度上具有sharp。
研究方法
- 首先,作者通過分析第二個Picard迭代的有界性,推導出在索伯列夫空間 Hs1 × Hs2 中系統局部適定的必要條件。
- 接著,作者利用Bourgain空間中的多線性估計,證明了當 s1 ≥ 0, max{−3/4, s1/2 −11/8, s1 −5/2} < s2 < min{4s1, s1 + 1} 時系統局部適定。
- 對於邊界情況,作者引入了Koch-Tataru提出的 U p −V p 空間和Guo-Wang構造的函數空間,分別處理了 s2 = min{4s1, s1+1} 和 s2 = −3/4, 0 ≤ s1 < 5/4 的情況。
- 最後,作者利用範式論證改進了非共振相互作用的估計,證明了當 4/3 < s1+1 < s2 ≤ max{4s1, s1+2} 和 s2 ≥−3/4, s2 +2 < s1 ≤ s2 +3 時系統局部適定。
主要貢獻
- 本文證明了薛丁格-KdV系統在更廣泛的索伯列夫空間 Hs1 × Hs2 中的局部適定性,推廣了Corcho-Linares的結果。
- 本文提出了一種利用不同函數空間和範式論證處理邊界情況的方法,為研究非線性偏微分方程的適定性問題提供了新的思路。
統計資料
s1 ≥ 0, max{−3/4, s1−3} ≤ s2 ≤ min{4s1, s1+2}
s1 ≥ 0, max{−3/4, s1/2 −11/8, s1 −5/2} < s2 < min{4s1, s1 + 1}
s2 = min{4s1, s1+1}
s2 = −3/4, 0 ≤ s1 < 5/4
4/3 < s1+1 < s2 ≤ max{4s1, s1+2}
s2 ≥−3/4, s2 +2 < s1 ≤ s2 +3