核心概念
一個多面體是 HV 對稱的,若且唯若它包含原點,換句話說,它是雙極的。
這篇研究論文探討了 HV 對稱多面體的概念及其與雙極性的關係。作者首先回顧了多面體的 H 表示法(半空間)和 V 表示法(頂點和極射線),並介紹了編碼這些表示法的矩陣表示法。
論文的核心在於證明一個多面體是 HV 對稱的,若且唯若它包含原點,即它是雙極的。作者利用 Minkowski 雙極方程式證明了這個論述,並探討了其對頂點和面枚舉問題的影響。
論文指出,傳統上將多面體提升到錐體以計算其 H 表示法並非必要條件,如果多面體包含原點,則可以直接對其 V 表示法矩陣應用 H 到 V 的轉換。這個發現對於基於樞紐運算的演算法(例如 lrslib 中使用的反向搜尋法)具有重要的計算意義,因為提升後的輸入和未提升的輸入可能會產生截然不同的樞紐運算次數和基底數量。
最後,論文探討了 H 表示法和 V 表示法之間的不對稱性,以及原點在 HV 對稱性中的作用。這種不對稱性源於「無窮遠超平面」的存在,它在 H 表示法中是有效的,但在 V 表示法中則不然。為了在兩種表示法之間建立同構關係,必須在 V 表示法中包含原點。
證明了多面體的 HV 對稱性與其包含原點(即雙極性)之間的等價關係。
揭示了在多面體包含原點的情況下,無需將其提升到錐體即可計算其 H 表示法的可能性。
探討了 H 表示法和 V 表示法之間的不對稱性,以及原點在 HV 對稱性中的作用。