一般位置的硬幣圖密度最多為 43/18

核心概念

本文證明了在平面上處於一般位置的 n 個點中，最短距離最多出現 43n/18 次，改進了 G. T´oth 在 1997 年獲得的上界 17n/7。

摘要

摘要
本文證明了在平面上處於一般位置的 n 個點中，最短距離最多出現 43n/18 次，改進了 G. T´oth 在 1997 年獲得的上界 17n/7。
簡介
現代學生在圖論課上學到的第一個結果之一是，在 n≥3 個頂點的平面圖中，邊的最大數量為 3n−6。雖然證明非常簡單，但即使是對問題進行很小的修改，也可能將一個人帶到當代圖論的前沿。例如，如果我們只考慮火柴棒圖（即所有邊都是相同單位長度的直線段的平面圖），這個上界會如何變化？在最近取得部分成功 [17] 之後，Lavollée 和 Swanepoel [18] 最終通過解決 Harborth [15] 四十年前的猜想，解決了這個問題。
定理 1 ([18])。在 n 個頂點的火柴棒圖中，邊的最大數量為 ⌊3n−√12n−3⌋。
硬幣圖是一種火柴棒圖，其中每兩個頂點之間的距離至少為 1。換句話說，對於平面上的點集，硬幣圖的邊恰好是點之間的最短距離。對於這種特殊類型的火柴棒圖，從定理 1 中獲得上界要容易得多，正如 Harborth 本人在 1974 年所指出的那樣，參見 [14]。請注意，實現此上界的極值配置（規則三角形格子的六邊形部分）包含許多共線三元組。Brass 想知道 [8，第 5.7 節，問題 1]，如果我們只考慮頂點處於一般位置（即沒有共線三元組）的硬幣圖，這個上界會如何變化。1997 年，G. T´oth [27] 設法證明了以下內容。
定理 2 (G. T´oth)。對於每個 n∈N，存在一個在一般位置上有 n 個頂點的硬幣圖，它包含 37n/16−O(√n)=2.3125n−O(√n) 條邊。另一方面，在一般位置上，每個具有 n 個頂點的硬幣圖最多具有 17n/7<2.4286n 條邊。
在本文中，我們通過改進上界來縮小這兩個界限之間的差距。我們這裡的主要工具是放電法，它在圖論中有許多應用 [1, 2, 3, 20, 24]，其中最突出的可能是四色定理的證明 [4]。
定理 3。在一般位置上，每個具有 n 個頂點的硬幣圖最多具有 43n/18<2.3889n 條邊。
還應提及的是，在過去的幾十年中，人們對各種密切相關的問題進行了廣泛的研究，參見論文 [5, 7, 11, 12, 13, 19, 21, 22, 23, 25, 28] 和書籍 [8, 16]。
證明概要
在第 2 節中，我們研究了一般位置的硬幣圖的頂點及其鄰居之間可能出現的局部結構。在描述了其中一些局部約束之後，我們應用放電法證明邊的數量不能超過 12n/5=2.4n，這已經改進了前面提到的 G. T´oth 的結果。在第 3 節中，我們將分析擴展到每個頂點的第二鄰域，以找到新的局部約束，其中一個約束（即引理 12）我們只能給出計算機輔助證明。結合放電法，這些新的約束將進一步改進上界並完成定理 3 的證明。

統計資料

平面圖中 n 個頂點的最大邊數為 3n-6。
火柴棒圖中 n 個頂點的最大邊數為 ⌊3n−√12n−3⌋。
在一般位置上，每個具有 n 個頂點的硬幣圖最多具有 17n/7 < 2.4286n 條邊。
本文證明了一般位置的硬幣圖密度最多為 43/18。

從以下內容提煉的關鍵洞見

General penny graphs are at most 43/18-dense

by Arsenii Sagd... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2402.09131.pdf

深入探究

如何將這個結果推廣到更高維度的空間？

將此結果推廣到更高維度的空間會面臨幾個挑戰：

維度災難: 隨著維度的增加，所需的計算量會急劇增加，使得分析變得更加困難。例如，在證明中使用的旋轉操作在高維空間中更難以處理。
結構複雜性: 高維空間中點集的結構更加複雜。二維空間中的許多幾何性質，例如凸包和三角形不等式，在高維空間中需要更複雜的對應概念。
缺少類似結果: 目前，我們對於高維空間中單位距離圖的結構還不夠了解，缺少類似於二維空間中已知結果的指導。

儘管存在這些挑戰，我們可以嘗試以下方法來推廣結果：

尋找高維空間中的類似結構: 探索高維空間中是否存在類似於「核心」和「杏子」的結構，並研究它們的性質。
利用高維空間的特殊性質: 例如，可以利用高維空間中球體堆積的性質來推導新的約束條件。
發展新的分析方法: 例如，可以嘗試使用概率方法或拓撲方法來分析高維空間中的單位距離圖。

如果放寬對點的一般位置的限制，允許一定數量的點共線，結果會如何變化？

如果允許一定數量的點共線，單位距離圖的最大密度會增加。這是因為共線的點可以形成許多單位距離的邊，而不會違反限制條件。

漸近行為: 隨著允許共線點數量的增加，單位距離圖的最大密度會趨近於 3。這是因為我們可以使用接近規則三角形網格的結構來構造單位距離圖，其中大部分點都位於共線的線上。
精確界限: 確定允許一定數量點共線時單位距離圖的精確最大密度是一個更具挑戰性的問題。這需要對允許的共線結構進行更精細的分析。

這個結果對於設計高效的演算法來計算點集中的最短距離有什麼影響？

這個結果本身並不能直接提供設計高效演算法的思路。因為即使最短距離的數量有限，要找到它們仍然需要計算所有點對之間的距離。
然而，這個結果對於理解點集的最短距離結構有一定的幫助，這可能間接地啟發新的演算法設計：

剪枝策略: 了解最短距離的數量和分佈可以幫助我們設計更高效的剪枝策略，在計算過程中排除不必要的距離計算。
近似演算法: 可以利用最短距離的數量有限這一事實來設計近似演算法，在犧牲一定精度的情況下，更快地找到點集中的近似最短距離。
总而言之，這個結果對於理解點集的最短距離結構有一定的理論意義，但對於設計高效演算法的影響有限。