一類包含距離函數的混合局部和非局部奇異問題的正則性結果

核心概念

本文研究了一類混合局部和非局部奇異擬線性方程的弱解的存在性、唯一性、邊界行為和正則性，並針對更一般的擬線性算子建立了若干Hölder正則性和梯度Hölder正則性結果。

摘要

一類包含距離函數的混合局部和非局部奇異問題的正則性結果

標題： 一類包含距離函數的混合局部和非局部奇異問題的正則性結果
作者： Kaushik Bal 和 Stuti Das
機構： 印度坎普爾理工學院數學與統計系
發表日期： 2024 年 11 月 21 日
預印本： arXiv:2411.14217v1 [math.AP]

本文旨在研究以下混合局部非局部奇異擬線性方程弱解的存在性、唯一性、邊界行為和正則性：
−∆pu + (−∆)s
qu = f(x)
uδ
in Ω,
u > 0 in Ω,
u = 0 in Rn\Ω;
其中 Ω 是具有 C2 邊界的 Rn 中的有界域，1 < q ≤ p < ∞，s ∈ (0, 1)，δ > 0，f ∈ L∞
loc(Ω) 是一個非負函數，在 ∂Ω 附近表現為 dist(x, ∂Ω)−β，β ≥ 0。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Regularity results for a class of mixed local and nonlocal singular problems involving distance function

by Kaushik Bal,... 於 arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.14217.pdf

深入探究

本文的研究結果如何推廣到非線性算子的情況？

本文考慮了一類混合局部和非局部奇異擬線性方程，並獲得了弱解的存在性、唯一性、邊界行為、最優 Sobolev 正則性和 Hölder 正則性。雖然主要結果集中在算子 $-Δ_p + (-Δ)^s_q$ 上，但許多證明技巧和結果可以推廣到更一般的非線性算子。
推廣方向：

更一般的增長條件： 可以將算子 $-Δ_p$ 和 $(-Δ)^s_q$ 中的 p-增長和 q-增長條件推廣到更一般的 Orlicz 增長或變指數增長條件。這需要使用 Orlicz-Sobolev 空間或變指數 Sobolev 空間的相關理論。
非齊次非線性算子： 可以考慮更一般的非線性算子，例如具有非標準增長條件或非局部項的 p-拉普拉斯算子。這需要發展新的技巧來處理非線性項和非局部項之間的相互作用。
完全非線性算子： 可以嘗試將結果推廣到完全非線性算子，例如 Hessian 算子或 p-Hessian 算子。這將需要使用粘性解理論或其他先進技術。

挑戰：
推廣到非線性算子會帶來一些挑戰，例如：

缺乏線性結構： 非線性算子缺乏線性結構，這使得許多線性理論中的工具無法直接應用。
估計的困難： 對於非線性算子，獲得解的先驗估計通常更加困難。
解的結構： 非線性算子的解可能具有更複雜的結構，例如多重性或分歧現象。

如果放寬對 f 的正則性要求，例如允許 f 在 Ω 內具有奇異性，那麼解的正則性會如何變化？

如果放寬對 f 的正則性要求，允許 f 在 Ω 內具有奇異性，那麼解的正則性會受到影響，可能無法達到本文中獲得的 Hölder 正則性。
解的正則性變化：

降低的 Hölder 指數： f 的奇異性會傳播到解 u，導致 u 的 Hölder 指數降低。奇異性越強，Hölder 指數降低得越多。
僅局部 Hölder 連續性： 如果 f 的奇異性足夠強，解 u 可能僅在 Ω 的部分區域保持 Hölder 連續性，而在奇異點附近失去正則性。
弱解的存在性： 在極端情況下，f 的奇異性可能導致弱解不存在。

應對方法：

加權 Sobolev 空間： 可以使用加權 Sobolev 空間來處理 f 的奇異性。通過選擇適當的權重函數，可以控制奇異性對解正則性的影響。
逼近方法： 可以使用逼近方法，用一系列正則函數逼近 f，並研究相應解的正則性。
局部化技巧： 可以使用局部化技巧，將問題限制在 Ω 的子區域上，以避免奇異點。

本文研究的奇異問題的解是否具有多重性？

本文主要關注解的存在性、唯一性和正則性，沒有明確討論解的多重性。然而，奇異問題通常可能存在多個解。
影響多重性的因素：

非線性項的結構： 非線性項 u^(-δ) 的奇異性會影響解的多重性。
權重函數 f： 權重函數 f 的行為，特別是其在邊界附近的奇異性，也會影響解的多重性。
參數的選擇： 問題中的參數，例如 δ 和 β，也會影響解的多重性。

研究多重性的方法：

分歧理論： 可以使用分歧理論來研究解的多重性，特別是尋找分歧點，在這些點附近解的數量會發生變化。
變分方法： 可以使用變分方法，例如山路引理或 Nehari 流形，來尋找多個臨界點，這些臨界點對應於問題的多個解。
拓撲方法： 可以使用拓撲方法，例如度理論或不動點定理，來證明多個解的存在性。