利用多尺度穩定化方法求解時空流體流動問題：公式化與範例

核心概念

本文提出了一種基於連續 Galerkin 時空有限元素法的穩定化方法，用於求解不可壓縮納維-斯托克斯方程式，並通過數值實驗驗證了該方法的有效性和穩定性。

摘要

本文提出了一種時空連續 Galerkin 有限元素法，用於求解不可壓縮納維-斯托克斯方程式。為了確保離散變分問題的穩定性，我們應用了變分多尺度法的概念。有限元素問題被提出在「完整」的時空域上，將時間視為另一個維度。我們對穩定化公式的穩定性和收斂性進行了嚴格的分析。最後，我們將此方法應用於計算流體力學中的兩個基準問題，即蓋驅動腔體流和圓柱繞流。我們用文獻中現有的結果驗證了當前的方法，並表明可以使用我們的方法求解非常大的時空塊。
1. 緒論
瞬態物理過程通常由時間相關的偏微分方程式 (PDE) 描述。數學分析表明，給定平滑且相容的初始條件和邊界條件，這些方程式中的許多方程式在空間和時間維度上都具有一定規律性的解 [1]。在數值求解這些方程式時，最常用的方法是線法，它有兩種變體：(i) 將 PDE 在空間上離散化以獲得一個大型常微分方程式 (ODE) 系統，然後在時間上積分；(ii) 首先在時間上離散化方程式，以獲得空間變數的連續 PDE，然後使用求解穩態 PDE 的技術求解 [2]。線法的性質使其成為一個順序過程。為了說明這一點，假設 IT = [0,T] 表示感興趣的時間間隔。在線法中，我們將此間隔離散化為 nt 個有限時間步長，每個時間步長為 ∆t = T/(nt−1)。因此，現在半離散的感興趣的 PDE 必須在以下時間點求解：∆t、2∆t、3∆t、...、(nt −1)∆t = T。在這種演算法中，特定步驟的解取決於先前時間步長的解。因此，求解過程本質上變成了演化：從一個時間步長前進到下一個時間步長，從而模擬物理過程本身。
但是，數值方法不必在其演化特徵中真正模擬物理過程。先前的研究 [3–9] 表明，在稍後時間求解並不需要等待中間點的解完成。相反，所有這些計算都可以並行進行。可以在 [10] 中找到對其中一些方法的簡要回顧。貫穿這些方法的一個共同主題是計算並行化的想法，可能與將時空域（即空間域和時間窗口的張量積）分解為多個較小的子域相結合。
在時空並行性的背景下，已經提出了多種類型的分解。早期的工作，例如 [3, 11] 或最近的工作，例如 [9] 主要在時間上分解 PDE。此類方法屬於依賴於時域分解的方法。類似地，基於波形鬆弛方法 [7, 8] 的工作主要在空間域中實現分解。[4, 6, 12] 考慮了空間和時間上的域分解，其中採用多重網格方法來求解時空方程組。但人們注意到，多重網格粗化在時間上的工作方式與在空間維度上的工作方式不同；特別是，時間上的粗化可能並不總是導致正確的收斂。
在有限元素法 (FEM) 的背景下，線離散化方法通常採用有限差分格式（例如，歐拉格式），並且許多時空並行實現都依賴於它們 [9, 13]。但 [14, 15] 等工作已將時間維度上的不連續 Galerkin (dG) 離散化與空間上的連續 Galerkin (cG) 近似相結合。這些方法通常也稱為「時空有限元素法」，但它們在本質上仍然是順序的，即，通常在按順序求解另一個「時間窗口」之前先求解一個「時間窗口」。可以在 [16–21] 中找到此類離散化的一些更多示例。
近年來，人們努力將連續 Galerkin 方法應用於時間離散化 [22–26]。[27] 等工作探討了在大型計算集群上求解這些公式的可擴展性和優勢。這些工作大多數僅限於熱方程等線性拋物線方程，但它們確實突出了通過連續基函數逼近解對時間的依賴性的一些問題，特別是對穩定化方法的需求。對該問題的理論分析 [28] 也提到了對這種方法的需求。
在這項工作中，我們的目標是開發一種快速且可擴展的連續 Galerkin 方法，用於納維-斯托克斯方程的時空耦合離散化。如第 2 節所述，納維-斯托克斯方程的時空離散化的穩定性要求歸結為以下幾點：(i) 主導對流項的穩定性和 (ii) 不可壓縮納維-斯托克斯方程的鞍點性質的穩定性。第一種穩定性可以通過多種方式提供，包括流線迎風 Petrov Galerkin (SUPG) 方法 [29]、Galerkin 最小二乘 (GLS) 方法 [30, 31] 或變分多尺度 (VMS) 方法 [32]。第二種穩定性可以通過壓力穩定 Petrov Galerkin (PSPG) 方法 [33] 提供。但已經表明，多尺度思想（即 VMS）的應用可以自然地導致一種穩定性，包括 SUPG 和 PSPG 類型的穩定性 [34]，以及梯度散度類型的穩定性。
因此，在本文中，我們認為 VMS 還有助於在連續 Galerkin 設置中穩定時空變分方程。然後可以以域分解的方式求解變分問題，以獲得完全耦合的時空問題，該問題也可以轉化為穩定的線性代數問題。因此，我們在本文中的貢獻如下：

一種用於在耦合時空中求解納維-斯托克斯方程的連續 Galerkin 方法。
VMS 的應用，通過等階速度-壓力對空間來穩定線性代數問題，使其免受空間和時間對流效應的影響。
對時空變分問題的嚴格分析。
針對基準問題驗證該方法。

本文的其餘部分組織如下：第 2 節介紹數學背景並推導變分公式，第 3 節提供變分問題的分析，第 4 節提供實現細節，第 5 節介紹數值實驗和驗證結果；第 6 節提供一些討論和結論。

統計資料

從以下內容提煉的關鍵洞見

Solving fluid flow problems in space-time with multiscale stabilization: formulation and examples

by Biswajit Kha... 於 arxiv.org 11-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2402.12571.pdf

深入探究

如何將該方法推廣到可壓縮納維-斯托克斯方程的求解？

將此方法推廣到可壓縮納維-斯托克斯方程的求解需要克服幾個挑戰：

額外的方程式： 可壓縮納維-斯托克斯方程包含了額外的守恆定律，例如能量守恆方程和狀態方程。這需要在變分形式中引入新的變數（例如溫度、密度）和對應的測試函數，並推導新的穩定化項。

非線性項的處理： 可壓縮流動引入了更強的非線性項，例如壓力和密度的耦合。這需要更複雜的線性化策略和迭代求解方法。

穩定性問題： 可壓縮流動容易出現震盪和不穩定性，特別是在高馬赫數和存在激波的情況下。這需要更強大的穩定化技術，例如高階穩定化方法或基於熵的穩定化方法。

時間步長的限制： 由於聲速的影響，可壓縮流動的顯式時間積分方法通常受到更嚴格的 CFL 穩定性條件限制。這可能需要使用隱式時間積分方法或更小的时间步长。

總之，將該方法推廣到可壓縮納維-斯托克斯方程需要對變分多尺度方法進行顯著的擴展和改進，以應對更複雜的物理現象和數值挑戰。

該方法在處理複雜幾何形狀和邊界條件方面的能力如何？

該方法在處理複雜幾何形狀和邊界條件方面具有以下優缺點：
優點：

幾何靈活性： 有限元素方法本身就具有處理複雜幾何形狀的靈活性，可以使用非結構化網格來精確地描述複雜的邊界。
邊界條件的弱施加： 變分形式允許自然地施加各種邊界條件，包括 Dirichlet、Neumann 和 Robin 邊界條件。
高階精度： 使用高階多項式基函數可以提高對曲邊邊界的逼近精度。
缺點：

網格生成： 對於非常複雜的幾何形狀，生成高質量的非結構化網格可能具有挑戰性，需要專門的網格生成技術。
邊界層的解析： 對於具有邊界層的流動問題，可能需要在邊界附近進行網格細化或使用其他技術（例如壁面函數）來準確解析邊界層。
總體而言，該方法在處理複雜幾何形狀和邊界條件方面具有相當的靈活性和能力，但需要仔細考慮網格生成和邊界層解析等問題。

能否結合其他數值技術（例如，自適應網格細化）來進一步提高該方法的效率和精度？

可以結合其他數值技術來進一步提高該方法的效率和精度，例如：

自適應網格細化 (AMR)： 可以根據流場的特徵（例如速度梯度、壓力梯度）動態地調整網格分辨率，在需要的地方進行網格細化，從而在保持精度的同時減少計算量。
高階時間積分方法： 可以使用高階時間積分方法（例如，高階 Runge-Kutta 方法、BDF 方法）來提高時間方向的精度，並允許使用更大的時間步长。
並行計算： 可以利用並行計算技術（例如，領域分解方法）在多個處理器或計算節點上並行求解大型線性系統，從而加速計算過程。
預條件技術： 可以使用預條件技術來改善線性系統的條件數，從而提高迭代求解方法的收斂速度。
通過結合這些數值技術，可以進一步提高該方法的效率和精度，使其更適合求解大規模、複雜的流體力學問題。