哈里斯-錢德拉特徵的可積性與奇點研究

核心概念

本文探討了約化群不可約表示的哈里斯-錢德拉特徵的可積性，並引入了一個新的奇點不變量 ǫ⋆(π)，用以量化特徵的局部可積性。

摘要

哈里斯-錢德拉特徵的可積性與奇點研究

這篇研究論文深入探討了特徵零的局部場上約化群的不可約表示之哈里斯-錢德拉特徵的可積性。

量化哈里斯-錢德拉特徵 θπ 的局部可積性。
探討新的奇點不變量 ǫ⋆(π) 與表示 π 的關係。

利用穩定的理查森冪零軌道積分的傅立葉變換 bξO 的可積性性質來研究 ǫ⋆(π)。
將 ǫ⋆(bξO) 表示為適當的相對外爾判別式的對數典範閾值。
採用源自超平面排列理論的奇點解析演算法，根據與軌道相關的劃分來計算 ǫ⋆(bξO)。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Integrability and singularities of Harish-Chandra characters

by Itay Glazer,... 於 arxiv.org 11-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.01591.pdf

深入探究

這項研究如何推廣到正特徵的局部場？

如文中 1.2.4 節所述，這項研究的主要結果預期可以推廣到特徵大於某常數 M 的局部場，其中 M 只與 G 的絕對根數據有關。
推廣的主要依據是：

Harish-Chandra 特徵和軌道積分的 Fourier 變換的「馴化」性質: 這些對象在模型論的意義下是「馴化」的，可以使用模型論，特別是「motivic integration」的技術來研究。
超平面排列的奇點解消: 結果證明中使用的奇點解消技術可以利用代數幾何中的「good reduction」概念推廣到足夠大的正特徵。
然而，要將這些結果完全推廣到正特徵，還需要克服一些挑戰：

需要推廣 Cluckers、Gordon 和 Halupczok [CGH14b, CGH14a, CGH18] 在「motivic integration」理論中建立的轉移結果。
正特徵局部場的表示論與特徵 0 的情況相比更加複雜，需要發展新的技術來處理這些額外的複雜性。

ǫ⋆(π) 如何與表示 π 的其他不變量（例如，形式度或深度）相關聯？

ǫ⋆(π) 與表示 π 的其他不變量，例如形式度或深度，之間的關係是一個有趣且重要的研究方向。以下是一些觀察和可能的關聯：

形式度: 形式度量測表示的「大小」，而 ǫ⋆(π) 量測其「奇異性」。儘管這兩個概念看似不同，但它們可能存在一些隱含的聯繫。例如，可以探討 ǫ⋆(π) 是否可以作為形式度的一個「精細化」指標，更精確地刻畫表示的性質。
深度: 深度量測表示的「算術複雜度」，而 ǫ⋆(π) 則與表示的「幾何奇異性」相關。儘管這兩個概念的出發點不同，但它們可能存在一些間接的聯繫。例如，可以探討 ǫ⋆(π) 是否可以提供有關表示深度的一些信息，反之亦然。
總之， ǫ⋆(π) 與其他表示不變量之間的關係是一個值得深入研究的課題，可能會揭示表示論中新的現象和聯繫。

這些結果對於理解更一般的自守表示的性質有何影響？

這些結果對於理解更一般的自守表示的性質具有潛在的重要影響。以下是一些可能的應用方向：

自守形式的 Fourier 係數: 自守形式的 Fourier 係數攜帶了豐富的算術和幾何信息。可以利用 ǫ⋆(π) 的性質來研究這些 Fourier 係數的增長性質和分佈規律，進而揭示自守形式的深層性質。
自守表示的分解: 自守表示的分解是數論和表示論中的核心問題。可以利用 ǫ⋆(π) 的不變性來研究自守表示的分解性質，例如，可以探討 ǫ⋆(π) 是否可以作為區分不同自守表示的一個有效指標。
L-函數的特殊值: 自守 L-函數的特殊值與數論中的許多重要問題密切相關。可以利用 ǫ⋆(π) 的性質來研究這些特殊值的算術性質，例如，可以探討 ǫ⋆(π) 是否可以提供有關 L-函數特殊值有理性的信息。
總之，這些結果為研究更一般的自守表示提供了一個新的視角和工具，預期會促進對自守表示的深入理解，並推動數論和表示論的發展。