圓周映射旋轉數的對數赫爾德連續性

核心概念

本文證明了在一類光滑圓周映射的單參數族中，旋轉數關於參數的變化具有對數赫爾德連續性，並將此結果應用於證明一維厄戈딕薛丁格算子的積分態密度也具有對數赫爾德連續性，相當於從動力系統角度證明了Craig-Simon定理的一維版本。

摘要

圓周映射旋轉數的對數赫爾德連續性

摘要

本文研究了在基底厄戈딕變換下光滑圓周映射的單參數族，並證明了它們的旋轉數相對於參數必須具有對數赫爾德正則性。作為直接應用，我們得到了 Craig-Simon 定理一維版本的動力學證明，該定理確定了厄戈딕薛丁格算子的積分態密度必須是對數赫爾德連續的。

引言

• 圓周同胚或微分同胚的旋轉數由 H. Poincare [Po] 於 1885 年提出。
• 當圓周微分同胚依賴於參數 a∈R1 時，旋轉數 ρ 作為參數 ρ = ρ(a) 的函數的性質是動力系統中的經典課題。
• 在許多情況下，函數 ρ(a) 的圖像是一個“魔鬼階梯”，具有許多迷人的特性。
• 已證明，在適當的條件下，函數 ρ(a) 必須是連續的，但通常不是 Lipschitz [Arn, Her1]，通常是有界變化的 [Bru]，並且是赫爾德連續的 [Gr]。
• 本文考慮旋轉數作為參數的函數，不是針對一個圓周映射，而是針對基底厄戈딕變換上的上循環，纖維上有光滑圓周映射。
• 結果表明，在這種情況下，旋轉數不必是參數的赫爾德連續函數，而必須是對數赫爾德連續的。
• 本文的最初動機是試圖理解譜理論中著名的 Craig-Simon 定理 [CS1, CS2] 的動力學含義，定理 2.5 可以解釋為其非線性版本。
• Craig-Simon 定理聲稱，厄戈딕離散薛丁格算子族的積分態密度必須是對數赫爾德連續的，並且可以重新表述為關於作為參數依賴於能量的薛丁格上循環的投影的旋轉數的陳述。
• 在第 2 節中，我們提供了設定，並制定和證明了主要結果，即定理 2.5。
• 在第 3 節中，我們給出了譜理論的背景知識，這些知識是制定 Craig-Simon 定理所必需的，並解釋了它與定理 2.5 的關係。
• 此外，參考譜理論中的已知結果，我們注意到定理 2.5 本質上是最優的。

預備知識和主要結果

• 假設 M 是一個緊湊度量空間，σ : M → M 是一個同胚，µ 是 M 上支持的厄戈딕不變 Borel 概率測度。
• 還假設給定了一個連續映射 g· : M → Homeo+(S1)，其中 Homeo+(S1) 表示圓周的保定向同胚空間，其中 S1 = R/Z 表示圓周。
• 然後，可以考慮一個相關的斜積。
• 命題 2.1：存在一個數 ρ∈R，使得對於 µ-a.e. ω∈M 和每個 x∈R，極限存在並且等於 ρ。
• 命題 2.1 中的數 ρ 稱為旋轉數。請注意，旋轉數 ρ 取決於提升 ˜gω 的選擇。
• 定理 2.5：假設上循環 (1) 平滑地依賴於參數 a∈J 並滿足以下條件：
  • 參數範圍是一個閉區間 J⊂R，並且對於某個一致的（在 x∈R，ω∈M，a∈J 中）常數 C>0，我們有 ∂˜ga,ω(x)/∂a ≤ C；
  • 如果我們設定 Mω = max{n≥2, max{x∈R, a∈J} |∂˜ga,ω(x)/∂x|}，則 ∫M log Mω dµ(ω) < ∞。
• 那麼旋轉數作為參數的函數是對數赫爾德連續的，即存在 R>0，使得對於任何 a，a'∈J 且 |a-a'|≤1/2，我們有 |ρ(a')-ρ(a)|≤R(log |a'-a|^(-1))^(-1)。

主要結果的證明

• 固定 a'，a∈J，並設定 δ=C|a'-a|。
• 證明 (3)，我們可以不失一般性地假設 ρ(a')>ρ(a)，因為另一種情況僅僅是交換 a 和 a'。
• 引理 2.8 比較了兩個軌道之間距離的演化（考慮相同的 ω）：對於任何 n=1，2，... 和任何整數 j，以下成立：x'n-xn-j≤δ+Mσn-1ω·max(0, x'n-1-xn-1-j)。
• 推論 2.9：記 dn,j := δ+max(0, x'n-xn-j)。則 dn,j≤Mσn-1ω·dn-1,j。
• 引理 2.10：對於每個 j≥0，log(1/(2δ))≤Σ(l=nj+1 到 nj+1) log Mσl-1(ω)。
• 根據 {nj} 的定義，我們有 j≤|x'nj-xnj|≤j+1，因此 (1/nj)|x'nj-xnj|≤2j/nj≤4∫M log Mω'dµ(ω')^(-1)。
• 考慮到 (5)，這意味著 |ρ(a')-ρ(a)|≤4∫M log Mω'dµ(ω')^(-1)。
• 由於 J 的緊湊性，即使我們刪除 a，a' 足夠接近的假設，相同的 inégalité 也成立，可能具有更大的常數 R 值。
• 這就完成了定理 2.5 的證明。

Craig-Simon 定理關於 IDS 的對數赫爾德正則性

• 在本節中，我們將解釋將定理 2.5 應用於相應一維厄戈딕薛丁格算子的薛丁格上循環，立即暗示積分態密度必須是對數赫爾德正則的，因此為譜理論中經典的 Craig-Simon 結果 [CS2，定理 5.2] 提供了純粹的動力學證明。
• 定理 3.1（[CS2] 中的定理 5.2）：在上述設定中，如果函數 f : M → R1 滿足 ∫M log(1+|f(ω)|)dµ < ∞，則積分態密度 N(E) 是對數赫爾德連續的，即對於任何緊湊集 J⊂R，對於某些 C>0 和任何 E1，E2∈J 且 |E1-E2|≤1/2，我們有 |N(E1)-N(E2)|≤C(log |E1-E2|^(-1))^(-1)。
• [CS1] 和 [CS2] 都使用 Thouless 公式作為主要工具。Thouless 公式將厄戈딕薛丁格算子族的積分態密度與相應薛丁格上循環的 Lyapunov 指數聯繫起來；在定理 2.5 的非線性設定中，該公式的一部分，即 Lyapunov 指數，根本沒有定義。
• 積分態密度的連續性模數是否可以改進，在厄戈딕薛丁格算子的譜理論中得到了廣泛的討論。結果表明，即使對於安德森模型，積分態密度也不必是具有給定冪的赫爾德連續的 [Hal]。
• 此外，[Cr，定理 5] 本質上聲稱，對於 [0, 1] 上的任何連續遞增函數 N(E)，其中 N(0)=0，N(1)=1，並且對於任何 α>1 都是 α-對數赫爾德連續的，即僅僅比定理 3.1 允許的正則性稍強，存在一個幾乎週期薛丁格算子族，其積分態密度由函數 N(E) 給出。
• 最後，在 [KG] 中，使用極限週期勢來證明定理 3.1 是 sharp 的，並且定理 3.1 中的估計不能用任何更好的連續性模數來代替。後來，在其他特殊類別的厄戈딕薛丁格算子中也構建了例子。因此，在 [DKS] 中，構建了隨機薛丁格上循環類中的一個例子，而在 [ALSZ] 中，構建了擬週期算子類中的一個例子。特別是，這些結果意味著定理 2.5 中的連續性模數也是最優的。

統計資料

引述

從以下內容提煉的關鍵洞見

Log H\"older continuity of the rotation number

by Anton Gorode... 於 arxiv.org 10-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.15462.pdf

深入探究

如何將本文的結果推廣到高維圓環映射？

將本文結果推廣到高維圓環映射 (higher-dimensional torus maps) 面臨著一些根本性的挑戰。主要問題在於，圓周旋轉數 (rotation number) 作為一個定義明確且穩定的拓撲不变量，在高維環面映射中並不存在直接的對應概念。
在圓周上，旋轉數量化了軌道繞圓周旋轉的平均速率。然而，在高維環面上，軌道可以展現出更複雜的行為，並且沒有單一的量能夠完全捕捉其拓撲特性。
儘管存在這些挑戰，仍有一些途徑可以探索高維環面映射中類似於旋轉數的概念：

限制在特定類型的映射： 可以考慮特定類型的環面映射，例如具有某些不變葉狀結構的映射，其中可以定義和研究類似於旋轉數的量。
使用不同的拓撲不变量： 可以探索其他拓撲不变量，例如映射誘導的同調群上的作用，以研究高維環面映射的參數依賴性和正則性。
發展新的概念： 可能需要發展全新的數學概念和工具來充分理解高維環面映射的旋轉行為和參數依賴性。
總之，將本文結果推廣到高維環面映射是一個複雜且具有挑戰性的問題，需要新的想法和方法。

如果放鬆對光滑性的假設，例如僅假設 Lipschitz 連續性，那麼旋轉數的正則性會如何變化？

如果放鬆對光滑性的假設，僅假設 Lipschitz 連續性，那麼旋轉數的正則性可能會減弱。

Log-Hölder 連續性可能不再成立： Theorem 2.5 中證明 log-Hölder 連續性依賴於映射對參數的平滑性。如果僅假設 Lipschitz 連續性，則旋轉數可能不再是 log-Hölder 連續的。
可能出現不連續性： 在某些情況下，放鬆光滑性假設甚至可能導致旋轉數出現不連續點。
然而，即使在僅假設 Lipschitz 連續性的情況下，仍然可以證明旋轉數的一些較弱的正則性結果：

幾乎處處連續性： 在較寬鬆的條件下，例如假設映射是絕對連續的，仍然可以證明旋轉數作為參數的函數幾乎處處連續。
特定模型中的正則性： 對於某些特定的環面映射模型，即使在僅假設 Lipschitz 連續性的情況下，仍然可以利用模型的特殊結構來證明旋轉數的 Hölder 連續性或其他正則性。
總之，放鬆光滑性假設可能會導致旋轉數的正則性減弱，但仍然可以獲得一些較弱的正則性結果。

本文的研究結果對於理解量子系統中的輸運現象有何啟示？

本文研究的旋轉數與量子系統中的態密度 (density of states) 密切相關，而態密度是決定量子系統輸運性質的關鍵因素。

Anderson 局域化： log-Hölder 連續性意味著態密度在能量軸上變化相對緩慢。這與一維無序量子系統中出現的 Anderson 局域化現象相符。Anderson 局域化指的是無序的存在會導致電子波函數的空間局域化，從而抑制電子的輸運。
輸運性質的穩定性： log-Hölder 連續性也暗示了量子系統輸運性質對系統參數的微小擾動相對穩定。這對於理解真實材料中的輸運現象至關重要，因為真實材料中不可避免地存在缺陷和雜質。
總之，本文的研究結果有助於我們更深入地理解量子系統中態密度的正則性，進而對理解量子系統中的輸運現象提供重要的理論依據。