本研究論文探討了單位圓盤內拉格朗日鏈環的 Hamiltonian 同位素的霍弗距離。具體而言,研究對象是由 k 個嵌入且光滑的簡單閉合曲線組成的互不相交的聯集 L0,這些曲線圍繞著面積相同且大於 1/(k+1) 的圓盤。
本論文的主要成果是證明了在 L(L0, D, ω) 上,霍弗距離是無界的,其中 L(L0, D, ω) 表示所有可由 Hamiltonian 微分同胚作用於 L0 所得到的拉格朗日子流形的集合。
證明過程採用了 Khanevsky 的論證方法,並結合了 Morabito 的研究成果。首先,透過將圓盤嵌入到不同面積的球體中,構造出四個 Hofer-Lipschitz 齊次擬態射。接著,利用 Morabito 的定理,建構出一個在 S(L0, D, ω) 上為零的 Hofer-Lipschitz 齊次擬態射 r,其中 S(L0, D, ω) 是 L0 在 Hamiltonian 微分同胚群下的穩定子群。最後,證明 r 不恆等於零,從而根據 Khanevsky 的論證得出結論。
本研究對於理解辛拓撲中拉格朗日子流形的 Hamiltonian 動力系統具有重要意義。霍弗距離的無界性意味著特定拉格朗日鏈環的 Hamiltonian 同位素可以相距「無限遠」。
本研究僅探討了圓盤內特定類型的拉格朗日鏈環。對於其他類型的拉格朗日子流形,例如單個圓環,霍弗距離是否有界仍是一個未解之謎。未來的研究方向可以探索更廣泛的拉格朗日子流形,並發展新的技術來研究其 Hamiltonian 動力系統。
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