本說明闡述了兩個看似無關的對象之間的關聯:一方面,我們考慮歐幾里得平面中的漂移擴散過程 X,其具有無散度且與時間無關的漂移 b。漂移由靜態高斯系綜給出,我們關注於臨界情況,其中小尺度截止對於適定性至關重要,而大尺度抵消則導致邊緣超擴散行為。另一方面,是矩陣行列式為 1 的李群 SL(2) 上的自然擴散 F。由於這種關聯,F 的強非高斯特性傳遞給 X 如何依賴於其起點。
我們考慮歐幾里得平面中的漂移擴散過程:
dX = b(X)dt + √2dW
其中 W 表示標準布朗運動。我們假設與時間無關的漂移 b(一個切向量場)是無散度的:
∇.b = 0
其中點表示微分 ∇(我們將其視為餘切向量)與切向量 b 之間的自然配對。我們進一步假設 b 是隨機的,並且在約束條件(2)下具有白噪聲特性。正如我們將在下面討論的,小尺度截止對於適定性是必需的。
另一方面,我們考慮李群 SL(2) 上的擴散,由 Stratonovich 演化方程給出:
dF = F ◦dB
其中 B 是相應李代數 sl(2)(一個三維線性空間)上的布朗運動。
我們的主要結果表明,淬滅/環境噪聲 b 的影響可以通過熱噪聲 B 很好地表示:存在 b 和 B 的耦合,使得對於所有 (x, t)
E∫0^T dt 1/|x|^2 |u(x, t) − u(0, t) − F^†{τ(|x|^2),τ(T)}x|^2 ≲ ε^2 E|F_{0,τ(T)}|^2
其中 τ(s) := ln(1 + ε^2/2 ln(1 + s))。
我們的主要結果表明,淬滅/環境噪聲 b 的影響可以通過熱噪聲 B 很好地表示。這意味著我們可以使用隨機微分方程的工具來研究漂移擴散過程的行為。
翻譯成其他語言
從原文內容
arxiv.org
深入探究