規則分區的增長 4：強規則性和對分區

核心概念

本文探討了三元超圖強規則性分解中，對分區大小增長函數的漸進行為，證明了該函數呈現出常數、多項式或至少指數級增長三種類型之一。

摘要

規則分區的增長 4：強規則性和對分區

C. Terry. (2024). 規則分區的增長 4：強規則性和對分區. arXiv:2404.02030v2 [math.CO].

本文旨在探討三元超圖強規則性分解中，對分區大小增長函數 LH 的漸進行為，並將其與圖論中已知的規則性引理的增長函數進行比較。

從以下內容提煉的關鍵洞見

Growth of regular partitions 4: strong regularity and the pairs partition

by C. Terry 於 arxiv.org 11-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.02030.pdf

深入探究

如何利用本文的結果來改進超圖規則性引理的界限？

本文的主要結果 (定理 1.7) 闡明了與 3-均勻超圖的強規則性分解相關的對分區大小增長函數 LH 的可能增長率。雖然這為 LH 的行為提供了寶貴的見解，但它並沒有直接轉化為對超圖規則性引理本身的界限的改進。
目前已知的超圖規則性引理的界限 (如定理 2.21 中的 T(ε1, ε2) 和 L(ε1, ε2)) 通常非常大，涉及迭代的 Ackermann 類型函數。本文的結果表明，對於某些遺傳性質，LH 的增長率可能遠小於這些一般界限。這意味著有可能針對這些特定性質改進規則性引理的界限。
然而，要實現這一目標，需要進一步的研究來彌合以下差距：

從 LH 到 T(ε1, ε2) 和 L(ε1, ε2)： 本文側重於 LH，它是對分區大小的度量。要改進規則性引理的界限，我們需要將這些結果與頂點分區大小 T(ε1, ε2) 聯繫起來。
從漸近行為到具體界限： 定理 1.7 描述了 LH 的漸近行為。要獲得改進的界限，我們需要將這些漸近結果轉化為 ε1 和 ε2 的具體函數。
總之，雖然本文的結果沒有直接改進超圖規則性引理的界限，但它們確實提供了一個有希望的方向，可以通過進一步的研究來潛在地實現這一目標。

是否存在其他類型的超圖規則性分解，其對分區大小增長函數表現出不同的漸進行為？

是的，除了本文中考慮的強規則性分解（基於 dev2,3-擬隨機性）之外，還存在其他類型的超圖規則性分解，它們對分區大小增長函數表現出不同的漸近行為。一些值得注意的例子包括：

弱規則性： 這種規則性概念由 Frieze 和 Kannan [5, 6] 以及 Chung [11] 提出，它使用了一種較弱的擬隨機性概念，僅基於邊密度。弱規則性引理的界限通常遠小於強規則性引理的界限，通常是 ε 的多項式函數。
超圖的超圖規則性： 這種方法涉及將超圖分解為更小的超圖，而不是頂點和對的集合。這種方法已成功用於證明超圖的若干極值結果，並且相關的規則性引理可能表現出與強規則性引理不同的增長率。
此外，人們可以通過探索擬隨機性的替代概念或考慮規則性分解的不同變體來構想新的規則性分解。這些探索可能會導致具有不同增長率的新型規則性引理，從而為超圖的結構和組合性質提供新的見解。

本文的結果對於研究其他組合結構的規則性分解有何啟示？

本文的結果和技術對於研究其他組合結構的規則性分解具有潛在的影響。特別是，研究重點是理解與規則性分解相關的增長函數的漸近行為，這可以應用於更廣泛的環境。
以下是一些可能的啟示：

推廣到高階超圖： 本文側重於 3-均勻超圖。將結果和技術推廣到高階超圖將是一件有趣的事情。這將需要對擬隨機性和規則性的概念進行適當的推廣。
探索其他組合結構： 規則性引理和分解的概念已經應用於圖和超圖之外的各種組合結構，例如置換、矩陣和向量空間。本文中使用的分析增長函數的方法可以為這些其他結構中的規則性分解提供有價值的見解。
與其他組合概念的聯繫： 本文將 VC2 維與規則性分解的增長率聯繫起來。探索與其他組合概念（如樹寬或秩寬度）的類似聯繫將是一件有趣的事情。
總之，本文的結果和技術為研究更廣泛的組合結構的規則性分解提供了一個有價值的框架。通過將這些方法應用於其他環境，我們可以希望獲得對這些結構的結構和組合性質的新見解。