核心概念
本文提出了一種基於系統級綜合 (SLS) 的新方法,用於為無限維演化方程(包括確定性和隨機偏微分方程以及積分方程)設計輸出反饋控制器,並允許加入局部性、傳感器延遲和通信延遲等凸結構約束。
摘要
論文摘要
這篇研究論文提出了一種針對包含偏微分方程和積分方程等廣泛線性系統的凸約束控制器綜合框架,這些系統通常用於流體動力學、熱力學系統、量子控制或交通網絡。大多數現有的控制技術依賴於通過常微分方程對系統進行(有限維)離散描述。本文則採用更通用的(無限維)希爾伯特空間。這使得離散化可以在優化之後應用(先優化後離散化)。利用輸出反饋系統級綜合 (SLS),我們將控制器綜合公式化為一個凸優化問題。在保持凸性的同時,可以加入傳感器和通信延遲以及局部性約束等結構約束,從而允許並行實現並將關鍵的 SLS 特性擴展到無限維。線性玻爾茲曼方程的算例證明了所提出方法及其優點。
研究目標
- 為包含偏微分方程和積分方程的廣泛線性系統開發一種凸約束控制器綜合框架。
- 克服傳統基於離散化的控制技術的局限性,這些技術會產生大量的狀態,並導致優化問題的求解成本過高。
- 將 SLS 框架的概念推廣到無限維度,以實現更準確的理論分析和預期的實際性能提升。
方法
- 利用輸出反饋系統級綜合 (SLS) 將控制器綜合公式化為一個凸優化問題。
- 在保持凸性的同時,加入傳感器和通信延遲以及局部性約束等結構約束。
- 使用正交基函數將問題簡化為係數的有限維優化,並通過並行方式求解子問題。
主要發現
- 在無限維希爾伯特空間中直接優化可以減輕離散化問題。
- 結構約束,如局部性、傳感器延遲和通信延遲,可以在保持凸性的同時被納入。
- 所提出的方法在線性玻爾茲曼方程的數值實現中表現出良好的性能。
主要結論
- 基於 SLS 的所提出的框架為無限維演化方程提供了一種有效且靈活的控制器綜合方法。
- 先優化後離散化的策略提供了優於傳統離散化技術的優勢。
- 該框架具有廣泛的潛在應用,包括流體動力學、熱力學系統和量子控制。
意義
這項研究通過為無限維演化方程提供一種實用的控制器設計方法,為控制理論做出了貢獻。所提出的框架有可能改進各種工程和科學領域的控制策略。
局限性和未來研究
- 未來的研究可以探討時變算子和連續時間演化方程的 SLS。
- 研究在子空間上的可控性概念對於解決欠驅動系統中的可行性問題至關重要。
- 分佈式求解器,如交替方向乘子法 (ADMM),可以進一步提高大型系統的可擴展性。
統計資料
使用 k = 12 個近似函數足以使結果在 0.3% 的誤差範圍內保持準確。
時間範圍為 T = 5,在兩個方向上均使用 nu = 16 個控制器,域為 [-2, 2]。
與沒有控制的狀態響應相比,控制器使狀態範數減小,例如,在 t = 1 時減小了 42.23%。