關於半光滑*路徑跟踪方法和參考點處/周圍強度量次正則性的均勻性

核心概念

本文探討了一種基於半光滑方法的路徑跟踪方法，用於求解代數包含，主要關注均勻次正則性的作用，並探討了如何將其整合到基於半光滑的路徑跟踪方法中，以增強解軌跡的穩定性並改善算法收斂性。

摘要

關於半光滑*路徑跟踪方法和參考點處/周圍強度量次正則性的均勻性

本文研究了一種受半光滑*方法啟發的路徑跟踪方法，用於求解代數包含問題，主要關注均勻次正則性的作用。均勻次正則性對於確保路徑跟踪方法的穩健性和穩定性至關重要，因為它提供了一個框架，可以在連續路徑上統一控制輸入和解集之間的距離。本文探討了尋找滿足以下條件的映射 x : R −→Rn 的問題：
$$
0 ∈F(t, x(t)) \text{ for each } t ∈[0, T],
$$
其中 F 是從 R × Rn 到 Rn 的集值映射。
本文討論了兩種方法：第一種方法考慮沿連續路徑具有均勻半光滑性質的映射，從而導致在整個區間內具有一致的網格誤差；而第二種方法則檢查沿路徑在各個點上表現出逐點半光滑性質的映射。均勻強次正則性框架被整合到這些方法中，以增強解軌跡的穩定性並改善算法收斂性。

H. Gfrerer 和 J. Outrata 在 2021 年引入了受牛頓法啟發的半光滑*方法，用於解決尋找滿足以下條件的 x ∈Rn 問題：
$$
0 ∈F(x),
$$
其中 F 是 Rn 和 Rn 之間具有閉合圖的集值映射。這種方法是一種創新，因為它基於包含 (1) 中集值映射的線性化，或者在廣義方程 (GEs) 的情況下使用極限餘微分對單值和集值部分進行線性化。這與 Newton-Josephy 方法形成對比，後者在 GEs 中僅對單值部分進行線性化。
A. Dontchev、M. Krastanov、R. Rockafellar 和 V. Veliov 研究了參數化廣義方程 (GEs)，其形式為：
$$
0 ∈f(t, x(t)) + NK(x(t)) \text{ for each } t ∈[0, T],
$$
其中 T > 0，f 是 R × Rn 和 Rm 之間的單值映射，K 是 Rn 的閉合凸子集，NK 是到集合 K 的法錐映射。他們針對 (2) 引入了兩步路徑跟踪方法，其形式為：
$$
\begin{cases}
f(tk, xk) + h∇tf(tk, xk) + ∇xf(tk, xk)(uk+1 −xk) + NK(uk+1) ∋0, \
f(tk+1, uk+1) + ∇tf(tk+1, uk+1)(xk+1 −uk+1) + NK(xk+1) ∋0,
\end{cases}
$$
其中 h 是離散化步長，x0 等於 x(0)。

從以下內容提煉的關鍵洞見

On semismooth$^*$ path-following method and uniformity of strong metric subregularity at/around the reference point

by Tomá... 於 arxiv.org 11-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.23871.pdf

深入探究

如何將均勻次正則性概念推廣到更一般的度量空間？

將均勻次正則性概念推廣到更一般的度量空間，需要解決以下幾個關鍵問題：

距離函數的選擇: 在一般的度量空間中，可能不存在範數誘導的距離函數。因此，需要適當選擇距離函數來定義集合間和點到集合的距離。常見的選擇包括度量本身或其他適合特定問題結構的距離函數。
鄰域的定義: 均勻次正則性的定義涉及到參考點的鄰域。在一般的度量空間中，鄰域的概念需要根據所選的距離函數進行適當調整。
次正則性常數的推廣: 在 Banach 空間中，次正則性常數通常是一個正實數。在更一般的度量空間中，可能需要考慮更廣泛的常數概念，例如非負函數或集合值映射。

具體來說，可以通過以下方式推廣均勻次正則性：
定義： 設 (X, d_X) 和 (Y, d_Y) 是度量空間。設 F: X ⇒ Y 是一個集值映射，(x̄, ȳ) ∈ gph F 是一個給定點，U 是 x̄ 的一個鄰域。我們稱 F 在 U 上關於 (x̄, ȳ) 是均勻度量次正則的，如果存在一個常數函數 κ: U → [0, ∞) 以及 x̄ 的一個鄰域 V ⊆ U，使得對於任意 x ∈ V 和任意 y ∈ F(x) ∩ {y ∈ Y: d_Y(y, ȳ) ≤ d_X(x, x̄)}，都有：
dist(x, F^{-1}(y)) ≤ κ(x) d_Y(y, ȳ)
這個定義將次正則性常數推廣為一個依賴於 x 的函數，並使用度量 d_X 和 d_Y 來定義距離。通過適當選擇距離函數和常數函數，可以將這個定義應用於各種不同的度量空間。

是否存在不滿足均勻次正則性條件但仍可以使用路徑跟踪方法有效求解的代數包含問題？

是的，存在不滿足均勻次正則性條件但仍可以使用路徑跟踪方法有效求解的代數包含問題。

局部次正則性： 均勻次正則性是一個較強的條件，要求在參考點附近的一個鄰域內都滿足次正則性。然而，一些問題可能只在參考點處滿足次正則性，而在其鄰域內不滿足。對於這類問題，如果路徑跟踪方法的初始點足够接近參考點，並且步長選擇得當，仍然可以保證算法的收斂性。
其他正則性條件： 除了次正則性之外，還有許多其他的正則性條件可以用於分析和求解代數包含問題，例如強正則性、半正則性等。一些問題可能不滿足均勻次正則性，但滿足其他正則性條件，而這些條件足以保證路徑跟踪方法的收斂性。
特殊結構： 一些具有特殊結構的代數包含問題，例如線性互補問題、變分不等式問題等，即使不滿足均勻次正則性，也存在专门設計的路徑跟踪算法可以有效求解。

總之，儘管均勻次正則性是保證路徑跟踪方法收斂性的一个充分條件，但並非必要條件。對於不滿足該條件的問題，仍然可以通過其他正則性條件、算法設計或問題的特殊結構來保證路徑跟踪方法的有效性。

除了電路問題之外，這種基於半光滑*的路徑跟踪方法還可以用於解決哪些其他實際問題？

基於半光滑*的路徑跟踪方法，除了電路問題之外，還可以用於解決許多其他實際問題，特別是涉及非線性、非光滑和集值映射的數學模型。以下列舉一些例子：

最優化問題: 許多實際問題，例如资源分配、工程設計、机器学习等，都可以建模為最優化問題。當目標函數或約束條件非光滑時，可以使用基於半光滑*的路徑跟踪方法求解其最優解。
變分不等式問題: 變分不等式問題是數學規劃中一類重要的問題，涵蓋了最優化問題、互補問題、均衡問題等。基於半光滑*的路徑跟踪方法可以有效求解非線性、非光滑的變分不等式問題。
互補問題: 互補問題要求找到滿足特定互補條件的變量。这类问题广泛应用于工程、经济、金融等领域。基於半光滑*的路徑跟踪方法可以處理非線性、非光滑的互補問題。
博弈論: 博弈論研究具有策略性行為的多个主体的决策问题。纳什均衡是博弈论中的一个重要概念。基於半光滑*的路徑跟踪方法可以用于求解非线性、非光滑博弈的纳什均衡。
控制理论: 控制理论研究如何设计控制器来使动态系统达到预期的性能指标。基於半光滑*的路徑跟踪方法可以用于求解非线性、非光滑控制系统的最优控制问题。
总而言之，基於半光滑*的路徑跟踪方法是一种通用的数值方法，可以用于解决各种涉及非线性、非光滑和集值映射的实际问题。