核心概念
本文闡述了單李群上 Coxeter-Toda 系統構成單一叢集可積系統,並利用叢集變換構建廣義 Bäcklund-Darboux 變換,證明其保持由跡函數生成的哈密頓流。此外,本文還建立了經典李群的 Coxeter-Toda 哈密頓量的網路公式,並推導出其組合公式。
摘要
文獻綜述
- 雙 Bruhat 胞是叢集代數和可積系統的交匯點,其坐標環具有自然的叢集代數結構。
- 共軛商 Coxeter 雙 Bruhat 胞也具有叢集結構,可通過融合 Coxeter 雙 Bruhat 胞獲得。
- Coxeter-Toda 系統是對應於由單李群的共軛不變函數生成的哈密頓流的動力系統,具有完全可積性。
- Q-系統是 Kirillov-Reshetikhin 模的限制特徵滿足的遞迴關係族,可以通過叢集代數突變來實現。
主要內容
本文主要研究單李群上 Coxeter-Toda 系統的叢集可積性和廣義 Bäcklund-Darboux 變換。
-
叢集結構:
- 利用融合的概念,從相應伴隨李群的雙 Bruhat 胞的叢集結構推導出單李群的共軛商 Coxeter 雙 Bruhat 胞的叢集結構。
- 證明了由任意兩個共軛商 Coxeter 雙 Bruhat 胞產生的初始叢集種子是突變等價的。
- 證明了共軛商 Coxeter 雙 Bruhat 胞上的有理叢集 X 坐標可以提升為單李群上相應共軛商 Coxeter 雙 Bruhat 胞上的有理坐標。
-
廣義 Bäcklund-Darboux 變換:
- 構建了單李群的兩個共軛商 Coxeter 雙 Bruhat 胞之間的廣義 Bäcklund-Darboux 變換。
- 證明了這些變換保持由單李群的任意表示的跡函數生成的哈密頓流。
- 推論出單李群上的 Coxeter-Toda 系統構成單一叢集可積系統。
-
網路公式和組合公式:
- 建立了經典李群的 Coxeter-Toda 哈密頓量的網路公式。
- 利用網路公式,獲得了經典類型 Ar、Br、Cr 和 Dr 的 Coxeter-Toda 哈密頓量的組合公式,或者等價地,獲得了某些仿射類型 Ap(1)(r)、Dp(2)(r+1)、Ap(2)(2r-1) 和 Dp(1)(r) 的 Q-系統的守恆量。
總結
本文通過構建廣義 Bäcklund-Darboux 變換,證明了單李群上 Coxeter-Toda 系統構成單一叢集可積系統,並建立了經典李群的 Coxeter-Toda 哈密頓量的網路公式和組合公式,為研究 Coxeter-Toda 系統和 Q-系統提供了新的工具和方法。