核心概念
本文研究了特徵為 p 的局部和全局函數域的初等阿貝爾擴張的判別式的分佈,並給出了具有固定判別式因子的初等阿貝爾擴張數量的精確公式,揭示了局部-全局原則。
摘要
文獻資訊
- Nicolas Potthast. (2024). On the asymptotics of elementary-abelian extensions of local and global function fields. arXiv preprint arXiv:2408.16394v2.
研究目標
本文旨在確定特徵為 p 的局部和全局函數域的 wildly ramified 初等阿貝爾擴張的判別式的分佈。此外,本文還將探討具有固定判別式因子的初等阿貝爾擴張數量的局部-全局原則。
研究方法
本文採用了數論和類域論的方法,並應用了導手-判別式公式、Artin-Schreier 理論以及 Dirichlet 級數等工具。
主要發現
- 本文確定了特徵為 p 的局部和全局函數域的 wildly ramified 初等阿貝爾擴張的判別式的分佈。
- 對於局部和有理函數域,本文給出了具有固定判別式因子的初等阿貝爾擴張數量的精確公式。
- 本文證明了有理函數域 Fq(t) 的具有固定判別式因子的 Cr
p-擴張數量的局部-全局原則。
- 本文計算了局部函數域的 Cr
p-擴張的漸近性。
主要結論
本文的主要結論是,特徵為 p 的局部和全局函數域的 wildly ramified 初等阿貝爾擴張的判別式的分佈可以用精確的公式來描述。此外,本文還證明了有理函數域的局部-全局原則,並計算了局部函數域的 Cr
p-擴張的漸近性。
研究意義
本文的研究結果對於理解函數域的算術性質具有重要意義,特別是在類域論和代數數論領域。
局限性和未來研究方向
- 本文僅考慮了特徵為 p 的函數域,未來可以進一步研究其他特徵的函數域。
- 本文僅考慮了初等阿貝爾擴張,未來可以進一步研究其他類型的擴張。