核心概念
本文針對高斯隨機場的偏移集的拓撲函數(例如貝蒂數)推導出泛函中心極限定理,並探討了極限變異數的正性。
摘要
文獻資訊
- 標題:高斯臨界點拓撲函數的泛函中心極限定理
- 作者:Christian Hirsch 和 Raphaël Lachièze-Rey
- 發佈日期:2024 年 11 月 18 日
- 類別:數學,概率論 (arXiv:2411.11429v1 [math.PR])
研究目標
本研究旨在推導高斯隨機場偏移集的拓撲函數(特別是貝蒂數)的泛函中心極限定理,並探討極限變異數的正性。
方法
- 利用平滑歐氏高斯場的偏移集的貝蒂數,在視窗增長至 Rd 的漸近線中進行分析。
- 採用基於鞅的技術,從幾何穩定性理論中汲取靈感,推導出固定水平的中心極限定理和極限非退化變異數。
- 藉由連續滲透理論推導出有界分量的直徑的指數尾,以解決泛函中心極限定理中拓撲函數的緊性問題。
主要發現
- 在場及其導數的規律性和協方差衰減的假設下,當變異參數為閾值參數時,推導出泛函中心極限定理。
- 證明了固定水平的中心極限定理,並顯示了極限變異數的正性。
主要結論
- 本研究為高斯隨機場偏移集的拓撲函數建立了泛函中心極限定理,為拓撲數據分析提供了理論基礎。
- 研究結果有助於理解高斯隨機場的幾何和拓撲特性,並為統計推斷和假設檢定提供依據。
研究意義
本研究對於理解高斯隨機場的拓撲特性具有重要意義,並為拓撲數據分析提供了理論基礎。
局限性和未來研究方向
- 本研究的結果基於特定的高斯場假設,未來研究可以探討更一般的隨機場模型。
- 可以進一步研究其他拓撲函數的漸近行為,例如持續同源性。