BTZ 黑洞解空間與守恆量探討

核心概念

本文利用協變相空間方法，計算了 BTZ 黑洞的質量、角動量和熵等守恆量，並探討了其熱力學第一定律和 Smarr 公式，展現了協變相空間方法在黑洞熱力學研究中的有效性。

摘要

BTZ 黑洞解空間與守恆量探討

本文使用基於協變相空間形式的解空間方法計算了 BTZ 黑洞的守恆量，即質量、角動量和熵。此外，我們還討論了 BTZ 黑洞的熱力學第一定律和 Smarr 公式。為了完整性，我們同時考慮了外視界和內視界的情況。此外，我們還得到了三維 Kerr-dS 時空的結果。我們的結果與之前的研究一致。考慮到情況的簡單性，我們盡可能詳細地呈現了信息，旨在促進相關領域的研究。

導論

對稱性是現代物理學的基礎，它以各種形式出現，特別是作為理論的對稱性和特定解的對稱性。在引力物理學中，解的對稱性，稱為等距性，由 Killing 向量表示。理論中的對稱性由其作用量和初始/邊界條件決定，在將一個解映射到另一個解的變換下保持不變。這些變換可以是離散的或連續的，後者通常由李群描述。連續對稱性分為整體對稱性和局部對稱性，局部對稱性允許基於任意時空函數的變換，從而產生規範理論。在這種理論中，不同的解可以通過局部對稱性聯繫起來，物理理論假設這些解是等價的，形成規範類。因此，規範對稱性代表了冗餘的自由度。Emmy Noether 定理將對稱性與守恆定律聯繫起來，第一定理將守恆量與對稱性聯繫起來，第二定理約束規範理論中的場方程。

繼 Emmy Noether 的奠基性工作之後，對稱性和守恆量之間的關係已成為理論物理學的核心。然而，在廣義相對論 (GR) 中，由於缺乏全局定義的時間方向，以協變方式定義這些電荷已被證明是困難的。解決這個問題的早期方法包括 Komar 對與 Killing 向量相關的守恆電荷的協變公式和 ADM 形式，它定義了漸近平坦時空的電荷。

此外，Bondi 及其同事開發了零無窮遠處電荷的方法，這些概念被推廣到漸近反德西特 (AdS)、德西特 (dS) 時空和高階導數引力理論。

儘管它們很有用，但這些方法有局限性，例如缺乏完全協變性和對特定作用量或漸近場行為的依賴性。

在這些設置中，一個適用於每種漸近行為和每種理論的簡單、通用的公式似乎不存在。這突出了在廣義相對論中定義守恆量的持續挑戰。

與 ADM、Bondi 和 Komar 的方法相比，協變相空間形式 (CPSF) 提供了一種系統的方法來獲得具有規範對稱性的通用理論中的守恆電荷，特別是一般協變理論。

Wald 的方法（或稱為 Wald 形式）基於作用量公式。此外，還有另一種由 Barnich 等人給出的 CPSF 公式，它基於運動方程 (EOM)。我們將集中討論 Wald 的方法。

CPSF 的關鍵在於相空間的構造及其辛結構。為了構造這個相空間，需要拉格朗日公式而不是哈密頓公式；因此，它的名字包含“協變”。在構造了相空間之後，人們可以從辛勢中推導出表面電荷。

解空間方法

SPSM 基於 CPSF。SPSM 的流形是 P 的子流形，表示為 S。S 的切空間表示為 TS，它由非平凡的微分同胚變換 δξΦ（傳統的規範變換已被忽略）或參數變化 ˆδΦ 張成。“非平凡”意味著與它們相關聯的表面電荷是非平凡的。請注意，如上所述，微分同胚變換也是精確對稱性。對於任何理論，都有兩種不同的參數：一種是理論參數，它由牛頓常數、宇宙學常數等組成；另一種是解參數，它們通常是運動常數，例如本文中的質量參數和角動量參數，我們只考慮這些參數變化。

BTZ 黑洞回顧

在本節中，我們將簡要回顧 BTZ 黑洞。

守恆電荷和 BTZ 黑洞的第一定律

黑洞熵

為了完整性，我們將介紹一些關於 Wald 熵的內容。在第二節 A 中，我們介紹了 CPSM。在 20 世紀 90 年代，Wald 和他的合作者基於 CPSM 提出了這個命題，其中黑洞熵也可以被視為 Noether 電荷。

守恆電荷

接下來，我們將討論 BTZ 黑洞守恆電荷的具體計算。對於 BTZ 黑洞，有兩個 Killing 向量，∂t 和 ∂ϕ，它們分別對應於時間平移對稱性和空間旋轉對稱性。根據 Noether 定理，我們可以知道 BTZ 黑洞的質量 M 和角動量 J 分別對應於 ∂t 和 ∂ϕ。從上面的討論中，我們已經知道 ζH = 2π/κ ξH 對應於黑洞熵 S。所以我們只需要分別計算對應於 ∂t、∂ϕ、ζH 的表面電荷，然後就可以得到 M、J、S。

黑洞熱力學第一定律

根據黑洞熱力學的零定律，即 TH = κ/2π，我們可以得到黑洞的溫度。

推廣：Kerr-dS 時空

正如我們在引言中所說，KdS3 時空的情況與 BTZ 黑洞的情況非常相似。為了完整性，我們將在本節中給出 KdS3 時空的結果。為了簡潔起見，我們只給出與 SPSM 相關的關鍵部分，有關 KdS3 時空的更多細節請參見參考文獻。

結論和評論

在本文中，我們討論了如何使用解空間方法來獲得 BTZ 黑洞的守恆電荷。隨後，利用先前獲得的守恆電荷推導出了熱力學第一定律，並順便得到了 Smarr 關係。為了完整性，我們同時考慮了外視界和內視界的情況。最後，我們還得到了三維 Kerr-dS 時空的結果。作為結尾，我們给出一些必要的評論。

統計資料

BTZ 黑洞是三維時空中最簡單的黑洞解之一。
BTZ 黑洞具有質量 (M)、角動量 (J) 和熵 (S) 等守恆量。
黑洞熵可以通過 Wald 熵公式計算，該公式將熵與視界 Killing 向量聯繫起來。
BTZ 黑洞的熱力學第一定律將質量變化與熵變化、角動量變化和視界角速度聯繫起來。
Smarr 公式將黑洞的質量與其熵、角動量、視界溫度和角速度聯繫起來。

引述

"The SPSM enables the calculation of conserved charges via integration over nearly any smooth codimension-2 surface encircling the singularity of the black hole, not being confined to the horizon bifurcation surface."
"Black hole entropy is regarded as a conserved charge connected to a linear combination of generators for stationarity, axial isometry, and other symmetries, with coefficients determined by the selected horizon."
"This methodology facilitates the derivation of the first law of black hole thermodynamics for any chosen horizon in a black hole solution, addressing the problems identified in previous investigations by circumventing the constraints of specific horizons or asymptotic conditions."

從以下內容提煉的關鍵洞見

Notes on solution phase space and BTZ black hole

by Wei Guo 於 arxiv.org 11-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.14247.pdf

深入探究

如何將解空間方法應用於更複雜的黑洞解，例如帶有電荷或更高維度的黑洞？

解空間方法可以應用於更複雜的黑洞解，例如帶有電荷或更高維度的黑洞，其基本步驟與文中介紹的 BTZ 黑洞類似，但計算過程會更加複雜。以下是一些需要考慮的因素：

更多的規範對稱性： 帶電黑洞解具有 U(1) 規範對稱性，需要在計算中考慮。這意味著需要計算與 U(1) 規範變換相關的表面電荷，並將其添加到與時空 Killing 向量相關的表面電荷中。
更高的維度： 更高維度的黑洞解具有更多的自由度，這意味著需要計算更多的表面電荷。此外，更高維度時空中微分形式的處理也更加複雜。
更複雜的度規： 帶電或更高維度的黑洞解通常具有比 BTZ 黑洞更複雜的度規。這意味著計算表面電荷密度和積分的過程會更加繁瑣。

儘管計算過程更加複雜，但解空間方法的基本思想仍然適用。通過計算與所有規範對稱性相關的表面電荷，並將其積分到適當的協變二維面上，就可以獲得黑洞的所有守恆量。
舉例來說，對於帶電的 BTZ 黑洞，除了時空 Killing 向量 $\partial_t$ 和 $\partial_\phi$ 外，還需要考慮與 U(1) 規範變換相關的向量場。計算與這些向量場相關的表面電荷，就可以得到黑洞的電荷 Q。
總之，解空間方法為計算複雜黑洞解的守恆量提供了一個系統性的框架。雖然計算過程會因黑洞解的複雜性而變得更加繁瑣，但其基本思想保持不變。

解空間方法如何與其他計算黑洞守恆量的方法（例如 ADM 形式或 Komar 積分）相關聯？

解空間方法與其他計算黑洞守恆量的方法（例如 ADM 形式或 Komar 積分）密切相關，它們都是基於時空對稱性和 Noether 定理。

ADM 形式： 主要用於漸近平坦時空中。它通過在空間無限遠處定義一個空間類超曲面，並計算該曲面上的能量-動量張量來定義能量、動量和角動量。
Komar 積分： 利用 Killing 向量場來定義守恆量。它通過在一個封閉的二維曲面上積分 Killing 向量場的協變導數來計算守恆電荷。
解空間方法可以看作是 ADM 形式和 Komar 積分的推廣，它具有以下優點：

更廣泛的適用性： 解空間方法適用於任何具有 Killing 向量的時空，無論其漸近行為如何。而 ADM 形式主要適用於漸近平坦時空，Komar 積分在某些情況下可能無法給出明確的結果。
更明確的定義： 解空間方法通過協變相空間形式來定義守恆電荷，其定義更加明確，且不受坐標系的選擇影響。
更自然的推廣： 解空間方法可以自然地推廣到更高維度的時空和更複雜的引力理論。

需要注意的是，在某些特定情況下，解空間方法得到的結果與 ADM 形式或 Komar 積分的結果是一致的。例如，對於漸近平坦時空中 asymptotically flat 的黑洞，解空間方法得到的質量和角動量與 ADM 質量和 ADM 角動量相同。
總而言之，解空間方法為計算黑洞守恆量提供了一個更強大、更通用的框架，它與 ADM 形式和 Komar 積分密切相關，並在更廣泛的時空中提供了更明確、更自然的定義。

解空間方法能否提供對黑洞信息悖論或 AdS/CFT 對應關係等問題的新見解？

解空間方法本身是一個計算黑洞守恆量的經典方法，它並不能直接解決黑洞信息悖論或 AdS/CFT 對應關係等量子引力問題。 然而，它可以通過以下方式為這些問題提供一些新的思路和工具：

熵的微觀起源： 解空間方法將黑洞熵與 Killing horizon 上的 Noether 電荷聯繫起來，這提供了一個從時空對稱性角度理解黑洞熵的微觀起源的可能性。通過研究更深入的量子引力理論，例如弦論或圈量子引力，可以探索解空間方法如何在量子層面上定義和計算黑洞熵，並可能為黑洞信息悖論提供新的見解。

全息對偶性： AdS/CFT 對應關係指出，某些量子引力理論與低維度的共形場論對偶。解空間方法可以被用於計算 AdS 時空中黑洞的守恆量，這些守恆量可以與對偶的共形場論中的物理量相關聯。通過研究這種對偶關係，可以更深入地理解黑洞的量子性質，並可能為解決黑洞信息悖論提供新的途徑。

近地平線幾何： 解空間方法可以有效地應用於近地平線幾何，例如極端黑洞的近地平線。 近地平線區域通常包含了黑洞量子性質的重要信息，通過解空間方法研究近地平線幾何和守恆量，可以為黑洞信息悖論和 AdS/CFT 對應關係提供新的線索。

總之，解空間方法本身不能直接解決黑洞信息悖論或 AdS/CFT 對應關係等量子引力問題，但它可以作為一個有用的工具，為這些問題提供新的思路和研究方向。 通過將解空間方法與其他量子引力理論和方法相結合，可以更深入地探索黑洞的量子性質，並可能為解決這些 fundamental problems 提供新的途徑。