Основні поняття
有界領域上の分数拡散方程式の新しい定式化を提案し、有限体積法に基づく数値スキームを開発した。数値実験により、提案手法の精度と性能を検証した。
Анотація
本研究では、有界領域上の分数拡散方程式の新しい定式化を提案し、それに基づく有限体積法の数値スキームを開発した。
まず、分数ラプラシアンの新しい定義を与え、その性質を解析した。これにより、分数熱方程式と呼ばれる問題の well-posedness を示した。
次に、一次元と二次元の数値スキームを構築した。一次元スキームでは、分数拡散項の離散化に注力し、二次元スキームではその拡張と並列化を行った。
数値実験では、以下の結果を得た:
- 一次元の分数熱方程式について、解析解との比較により提案スキームの精度を検証した。
- 一次元のLevy-Fokker-Planck方程式について、定常状態の特性を調べ、領域サイズの影響を明らかにした。
- 二次元のLevy-Fokker-Planck方程式について、定常状態の特性を調べ、解析解との比較を行った。
全体として、提案手法が有界領域上の分数拡散問題に対して有効であることを示した。
Статистика
分数ラプラシアンの定義式: (−∆)α/2ρ(x) = C(d, α) p.v. ∫Rd (ρ(x) - ρ(y)) / |x - y|d+α dy
分数熱方程式の解析解: ϕ(t, x) = C(d) / (t^(d+1/2) + |x|^2)^(d+1)/2
Lévy-Fokker-Planck方程式の解析解: ρ*(t, x) = 1 / (π (e^t - 1) (1 + x^2)^(e^2t - 2e^t + 1))
定常状態の解析解: ρ∞(x) = 1 / (π (1 + x^2)^(3/2))
Цитати
"我々は有界領域上の分数ラプラシアンの新しい定義を構築し、その性質を解析した。"
"我々は有限体積法に基づく数値スキームを開発し、その精度と性能を検証した。"