論 Étale 代數與玻色融合 2-範疇的關係

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本文旨在對 Drinfeld 中心 Z1(2Vectπ
G) 中的連通與拉格朗日 étale 代數進行分類，並探討其與玻色融合 2-範疇分類的關聯。

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On \'Etale Algebras and Bosonic Fusion 2-Categories

by Hao Xu о arxiv.org 11-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2411.13367.pdf

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本文主要關注有限群 G 和 4-餘循環 π 的情況，那麼對於更一般的拓撲群或更高階的餘循環，étale 代數和融合 2-範疇的分類會有哪些變化？

當考慮更一般的拓撲群或更高階的餘循環時，étale 代數和融合 2-範疇的分類會變得更加複雜，主要體現在以下幾個方面：

群上同調的複雜性: 對於一般的拓撲群，其群上同調的計算會變得更加困難。有限群的群上同調可以用代數的方法計算，而拓撲群的群上同調則需要用到代數拓撲的工具。更高階的餘循環對應著更高階的群上同調，其計算複雜度也會隨之增加。

表示範疇的複雜性: 有限群的表示範疇是有限半單的，而一般的拓撲群的表示範疇則不一定具有這些良好的性質。這會導致在定義和分類 étale 代數和融合 2-範疇時遇到困難。

對偶性的問題: 有限群的範疇化對偶性理論已經被很好地理解，而對於一般的拓撲群，其範疇化對偶性理論還不夠完善。這會影響到我們對融合 2-範疇的 Drinfeld 中心以及 Witt 等價關係的理解。

儘管存在這些困難，對於某些特殊類型的拓撲群，例如緊李群，我們仍然可以得到一些有意義的結果。例如，可以利用緊李群的表示論來研究其對應的融合 2-範疇。

文中提到 Witt 等價關係簡化了編織融合範疇的分類問題，那麼是否存在其他類似的等價關係可以應用於融合 2-範疇的分類？

是的，除了 Witt 等價關係之外，還有一些其他的等價關係可以應用於融合 2-範疇的分類，例如：

Morita 等價關係: 兩個融合 2-範疇稱為 Morita 等價的，如果它們的模範疇等價。Morita 等價關係比 Witt 等價關係更弱，它不依賴於編織結構。

Galois 等價關係: Galois 等價關係是由 Drinfeld 引入的，它可以看作是 Witt 等價關係在高階範疇理論中的推廣。兩個融合 2-範疇稱為 Galois 等價的，如果它們的 Drinfeld 中心在某種意義下等價。

可分解等價關係: 可分解等價關係是由 Etingof, Nikshych 和 Ostrik 引入的，它可以看作是 Morita 等價關係的加強版。兩個融合 2-範疇稱為可分解等價的，如果它們可以通過一系列基本操作聯繫起來，這些基本操作包括取對偶、張量積和分解。

這些等價關係在融合 2-範疇的分類中都扮演著重要的角色，它們可以幫助我們簡化分類問題，並揭示不同融合 2-範疇之間的聯繫。

融合範疇理論在拓撲量子場論中扮演著重要的角色，那麼本文的結果對於理解 4 維拓撲量子場論有哪些啟示？

本文的結果對於理解 4 維拓撲量子場論 (TQFT) 有著重要的啟示，主要體現在以下幾個方面：

缺陷的分類: étale 代數可以看作是 4 維 TQFT 中的表面缺陷，而融合 2-範疇則可以看作是線缺陷。本文對 étale 代數和融合 2-範疇的分類結果，可以幫助我們理解 4 維 TQFT 中缺陷的分類問題。

拓撲序的分類: 4 維 TQFT 可以用來描述拓撲序，而拓撲序的分類問題是凝聚態物理學中的重要問題之一。本文的結果為拓撲序的分類提供了一種新的思路，即通過分類其對應的融合 2-範疇來分類拓撲序。

高範疇 TQFT 的構造: 本文的結果可以看作是對 4 維 Dijkgraaf-Witten 理論的推廣，它為構造更一般的 4 維高範疇 TQFT 提供了新的工具和方法。

總之，本文的結果加深了我們對 4 維 TQFT 的理解，為研究拓撲序和其他相關物理現象提供了新的思路和方法。