高次元統計における不変分布の推論のためのテンソル累積量

Основні поняття

テンソル累積量は、テンソルの不変多項式に対する明示的で近似直交な基底を提供し、不変分布の統計的推論問題の計算複雑性を理解するための強力な道具となる。

Анотація

本論文では、テンソルの不変多項式を分析するための新しい概念である「テンソル累積量」を導入する。これらの累積量は、自由確率論のフリー累積量をテンソルに一般化したものであり、以下のような性質を持つ:

1. 空グラフに対する累積量は1となる。
2. 累積量は直交性を持つ近似基底を形成する。
3. ウィグナーテンソルに関する期待値が0となる。
4. 加法的な自由畳み込みの性質を持つ。

これらの性質を利用して、テンソルPCAや、ウィグナーテンソルとウィシャートテンソルの識別問題などの不変統計問題の計算複雑性を解析する。具体的には、低次多項式アルゴリズムの限界を示し、統計的に可能だが計算的に困難な領域の存在を明らかにする。

Статистика

テンソルPCAモデルにおいて、信号対雑音比λが λ ≤ apn^(-p/4)D^(-(p-2)/4) の場合、次数Dまでの多項式アルゴリズムでは検出できない。
一方、λ ≥ bpn^(-p/4)D^(-(p-2)/4) かつ D = ω(1) の場合、次数Dまでの多項式アルゴリズムで検出可能。
ウィグナーテンソルとウィシャートテンソルの識別問題において、r ≥ ap,C * (n^p if p is odd, n^(3p/2) if p is even) の場合、次数Dまでの多項式アルゴリズムでは識別できない。

Цитати

"テンソル累積量は、自由確率論のフリー累積量をテンソルに一般化したものである。"
"テンソル累積量は、不変分布の統計的推論問題の計算複雑性を理解するための強力な道具となる。"

Ключові висновки, отримані з

Tensor cumulants for statistical inference on invariant distributions

by Dmitriy Kuni... о arxiv.org 04-30-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.18735.pdf

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