Äquivalenz der Treue von Cantor-Abdeckungen auf konstruktiver und Hausdorff-Ebene

Основні поняття

Die Treue von Cantor-Abdeckungen auf konstruktiver und Hausdorff-Ebene sind äquivalente Konzepte.

Анотація

Der Artikel führt den Begriff der konstruktiven Φ-Dimension ein, die eine konstruktive Analogie zur Hausdorff-Φ-Dimension darstellt. Er beweist ein Punkt-zu-Menge-Prinzip für Φ-Dimensionen, das als Spezialfall das ursprüngliche Punkt-zu-Menge-Prinzip für Hausdorff-Dimension umfasst.

Anschließend zeigt der Artikel, dass für die allgemeinste Verallgemeinerung der Basis-b-Darstellungen, für die Treue klassisch untersucht wurde, nämlich für die durch Cantor-Reihenentwicklungen erzeugten Abdeckungsklassen, die Begriffe der Hausdorff-Treue und der konstruktiven Treue tatsächlich äquivalent sind.

Um dieses Ergebnis zu etablieren, verwenden die Autoren ein neues kombinatorisches Konstruktionsverfahren für Sequenzen, deren relativierte Kolmogorov-Komplexitäten in kontrollierter Weise variieren.

Статистика

Für alle X ∈ [0,1] \ Q und A ⊆ N gilt: cdimA(X) = cdimA
Φ(X)
Für alle F ⊆ [0,1] gilt: dimΦ(F) = dim(F)

Цитати

"Die Treue von Hausdorff-Dimension und die Treue von konstruktiver Dimension sind äquivalente Konzepte."
"Für die allgemeinste Verallgemeinerung der Basis-b-Darstellungen, für die Treue klassisch untersucht wurde, nämlich für die durch Cantor-Reihenentwicklungen erzeugten Abdeckungsklassen, sind die Begriffe der Hausdorff-Treue und der konstruktiven Treue tatsächlich äquivalent."

Ключові висновки, отримані з

Point-to-set Principle and Constructive Dimension Faithfulness

by Satyadev Nan... о arxiv.org 03-14-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.08278.pdf

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