Die operadische Theorie der Konvexität

Основні поняття

In diesem Artikel charakterisieren wir Konvexität in Bezug auf Algebren über einem PROP und etablieren eine tensorproduktartige symmetrische monoidale Struktur auf der Kategorie der konvexen Mengen. Mit Hilfe dieser beiden Strukturen und der Theorie der O-monoidalen Kategorien, die in [8] entwickelt wurde, formulieren und beweisen wir eine Grothendieck-Konstruktion für laxe O-monoidale Funktoren in konvexe Mengen.

Анотація

Der Artikel beginnt mit einer Einführung in die Theorie der konvexen Mengen, die als Algebren über einem Monadenmodul definiert werden. Es werden explizite Konstruktionen wie der Beitritt und das konvexe Tensorprodukt eingeführt, die es ermöglichen, kategorisch mit konvexen Mengen zu arbeiten.

Anschließend wird die PROP ConvR eingeführt, deren Algebren in der Kategorie der Mengen genau die R-konvexen Mengen sind. Die Struktur dieser PROP und ihrer Algebren in verschiedenen Kategorien wird untersucht.

Der Hauptteil des Artikels befasst sich mit der Grothendieck-Konstruktion für konvexe Mengen. Zunächst wird eine "naive" Version dieser Konstruktion beschrieben, die direkt aus der operadischen Herangehensweise folgt. Anschließend wird eine allgemeinere Version der Grothendieck-Konstruktion für O-monoidale Kategorien entwickelt und auf den Fall konvexer Mengen angewendet.

Abschließend werden Anwendungen der konvexen Grothendieck-Konstruktion auf die kategorische Charakterisierung von Entropie und die Theorie der quantenmechanischen Kontextualität diskutiert.

Статистика

Die Summe der Einträge in jeder Zeile einer n × m konvexen R-Matrix ist 1.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung p ∈ DR(X) ist 1.

Цитати

"Konvexität spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Optimierung und darüber hinaus eine große Rolle, was den Wunsch nach abstrakten Rahmenwerken zu ihrer Untersuchung wünschenswert macht."
"Unser Ziel ist es, Konvexität in Bezug auf Operaden-ähnliche Strukturen zu charakterisieren und die operadische Perspektive zu nutzen, um neue und nützliche Konstruktionen in konvexen Mengen bereitzustellen."

Ключові висновки, отримані з

The operadic theory of convexity

by Redi Haderi,... о arxiv.org 03-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.18102.pdf

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