Effiziente Lösung großer dünnbesetzter Riccati-Matrixgleichungen durch ein niedrigrangiges verallgemeinertes Alternating-Direction-Implicit-Iterationsverfahren

Основні поняття

Das Papier präsentiert ein effektives niedrigrangiges verallgemeinertes Alternating-Direction-Implicit-Iterationsverfahren (R-GADI) zur Lösung großer dünnbesetzter und stabiler Lyapunov-Matrixgleichungen und kontinuierlich-zeitlicher algebraischer Riccati-Matrixgleichungen. Der Vorteil des neuen Algorithmus liegt in seiner direkten und effizienten niedrigrangigen Formulierung, die eine Variante der Cholesky-Zerlegung im Lyapunov-GADI-Verfahren ist und Speicherplatz spart sowie die Berechnung effektiv macht.

Анотація

Das Papier präsentiert ein effizientes niedrigrangiges verallgemeinertes Alternating-Direction-Implicit-Iterationsverfahren (R-GADI) zur Lösung großer dünnbesetzter und stabiler Lyapunov-Matrixgleichungen und kontinuierlich-zeitlicher algebraischer Riccati-Matrixgleichungen.
Der Algorithmus basiert auf dem verallgemeinerten Alternating-Direction-Implicit-Iterationsverfahren (GADI), das die niedrigrangige Eigenschaft von Matrizen ausnutzt und den Cholesky-Faktorisierungsansatz zur Lösung verwendet. Der Vorteil des neuen Algorithmus liegt in seiner direkten und effizienten niedrigrangigen Formulierung, die eine Variante der Cholesky-Zerlegung im Lyapunov-GADI-Verfahren ist und Speicherplatz spart sowie die Berechnung effektiv macht.
Beim Lösen der kontinuierlich-zeitlichen algebraischen Riccati-Matrixgleichung wird die Riccati-Gleichung zunächst mit Hilfe des Newton-Verfahrens in eine Lyapunov-Gleichung vereinfacht, bevor dann das R-GADI-Verfahren zur Berechnung eingesetzt wird.
Darüber hinaus wird die Konvergenz des R-GADI-Verfahrens analysiert und seine Konsistenz mit der Konvergenz des GADI-Verfahrens bewiesen. Schließlich wird die Effektivität des neuen Algorithmus durch entsprechende numerische Experimente demonstriert.

Статистика

Die Spektralradien der Iterationsmatrizen des GADI-Verfahrens und des R-GADI-Verfahrens erfüllen die Ungleichung ρ(T(α, ω)) < ρ(T(α)) < 1.
Der optimale Parameter α ist gleich dem maximalen Singulärwert der Koeffizientenmatrix F.

Цитати

"Der Vorteil des neuen Algorithmus liegt in seiner direkten und effizienten niedrigrangigen Formulierung, die eine Variante der Cholesky-Zerlegung im Lyapunov-GADI-Verfahren ist und Speicherplatz spart sowie die Berechnung effektiv macht."
"Darüber hinaus wird die Konvergenz des R-GADI-Verfahrens analysiert und seine Konsistenz mit der Konvergenz des GADI-Verfahrens bewiesen."

Ключові висновки, отримані з

Low-rank generalized alternating direction implicit iteration method for solving matrix equations

by Juan Zhang,W... о arxiv.org 04-10-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.06034.pdf

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