Khái niệm cốt lõi
이 논문은 경계된 매칭 수를 갖는 그래프에서 특정 부분 그래프의 최대 개수를 연구하는 극단 그래프 이론의 문제인 일반화된 투란 문제에 대한 안정성 결과 및 정확한 값을 제시합니다.
본 연구는 그래프 이론, 특히 극단 그래프 이론 분야의 문제인 일반화된 투란 문제를 다룹니다. 특정 크기의 매칭을 포함하지 않는 그래프에서 주어진 그래프의 최대 복사본 수를 연구합니다. 논문에서는 안정성 결과를 설정하고 특정 그래프 클래스에 대한 일반화된 투란 수의 정확한 값을 제공합니다.
주요 정의
일반화된 투란 수 ex(n, H, F): F ∈ F인 그래프 F를 포함하지 않는 n-꼭지점 그래프에서 그래프 H의 최대 복사본 수입니다.
D(F): 그래프 F에서 독립적인 집합을 삭제하여 얻을 수 있는 모든 그래프 집합입니다.
EX(n, H, F): N(H, G) = ex(n, H, F)를 만족하는 n-꼭지점 F-free 그래프 집합입니다.
DF(n, r): EX(n, Kr−1, D(F))에서 r-클릭 수가 가장 많은 그래프입니다.
주요 결과
χ(F) ≥ 3인 경우의 안정성 및 정확한 결과:
정리 1.1은 χ(F) ≥ 3인 그래프 F에 대한 일반화된 투란 문제에 대한 안정성 결과를 설정합니다. 즉, 특정 조건을 충족하는 {F, Ms+1}-free 그래프는 거의 s개의 꼭지점으로 구성된 독립적인 집합을 갖습니다.
정리 1.3은 ex(s, Kr−1, D(F)) > ex(s − 1, Kr−1, D(F)) 및 χ(F) ≥ r인 모든 그래프 F에 대해 ex(n, Kr, {F, Ms+1})의 정확한 값을 제공합니다.
정리 1.4는 χ(F) > r ≥ 3인 그래프 F에 대해 ex(n, Kr, {F, Ms+1})의 정확한 값을 제공합니다.
χ(F) = 2인 경우의 상한 및 정확한 결과:
정리 1.5는 χ(F) = 2이고 p(F) ≤ s인 그래프 F에 대한 ex(n, Kr, {F, Ms+1})의 상한을 제공합니다.
정리 1.6은 F가 짝수 경로(P2p)인 경우 ex(n, Kr, {P2p, Ms+1})의 정확한 값을 제공합니다.
정리 1.7은 F가 홀수 경로(P2p+1)인 경우 ex(n, Kr, {P2p+1, Ms+1})의 정확한 값을 제공합니다.
중요성
이 연구는 경계된 매칭 수를 갖는 일반화된 투란 문제에 대한 이해에 크게 기여합니다. 안정성 결과와 정확한 값은 극단 그래프 이론 분야에 귀중한 통찰력을 제공합니다.
Thống kê
n ≥ 2s + 1 및 k ≥ 2에 대해 ex(n, {Kk+1, Ms+1}) = max{e(Tk(2s + 1)), e(Tk−1(s) ∨In−s)}입니다.
p, k 및 r = 3인 정수의 경우 s = k(2p − 1) + 1 및 F = P2p ∨Ip입니다.
ex(s, K2, D(F)) = ex(s − 1, K2, D(F)) = ex(s − 1, K2, P2p) = k(2p−1)/2입니다.
F = P2p ∨Ip 및 r = 3에 대해 DF(s, r) = kK2p−1 ∪ K1입니다.