Optimale und superkonvergente Fehlerabschätzungen für die div-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode bei elliptischen Problemen

Khái niệm cốt lõi

In dieser Arbeit präsentieren wir eine vollständige Fehleranalyse für die div-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode bei elliptischen Problemen, die die aktuellen Ergebnisse verbessert. Die Fehlerabschätzungen für die skalare und die Flussvariable werden durch Dualargumente hergeleitet, wobei in den meisten Fällen nur eine H1+ε-Regularität verwendet wird. Numerische Experimente bestätigen unsere Analyse.

Tóm tắt

In dieser Arbeit wird die Fehleranalyse für die div-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode (div-LSFEM) bei elliptischen Problemen untersucht.
Zunächst wird das Modellproblem eingeführt und in ein Ersterordnungssystem umformuliert. Dann wird die div-LSFEM für dieses System beschrieben.
Anschließend werden primäre Fehlerabschätzungen in der Energienorm hergeleitet, indem Projektionen auf geeignete Finite-Elemente-Räume verwendet werden. Diese Abschätzungen bilden die Grundlage für die weitere Analyse.
Im Hauptteil der Arbeit werden dann durch Dualargumente verbesserte Fehlerabschätzungen, insbesondere Superkonvergenzresultate, für verschiedene Kombinationen der Finite-Elemente-Räume für die skalare und Flussvariable hergeleitet. Dabei wird in den meisten Fällen nur eine H1+ε-Regularität benötigt, was eine Verbesserung gegenüber bisherigen Arbeiten darstellt.
Abschließend werden numerische Experimente präsentiert, die die theoretischen Ergebnisse bestätigen.

Thống kê

Die folgenden Sätze enthalten wichtige Kennzahlen oder Zahlen, die die Argumentation des Autors unterstützen:
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 + ∥∇· (q −qh)∥0 ≤Chs(∥u∥s+1 + ∥q∥s+1)"
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 + ∥∇· (q −qh)∥0 ≤C(hm∥u∥m+1 + hk∥q∥k+1)"
"∥u −uh∥0 ≤C(hm+1∥u∥m+1 + hk+1∥q∥k+1)"
"∥q −qh∥0 ≤C(hm+1∥u∥m+1 + hk∥q∥k+1) für RT k−1/Pm, (hm+1∥u∥m+1 + hk+1∥q∥k+1) für BDMk/Pm"
"∥q −qh∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+1 + ∥q∥k+1) für BDMk/Pk"
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 + ∥∇· (q −qh)∥≤Chk+1(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1 + ∥∇· q∥k+1)"
"∥u −uh∥0 ≤Chk+2(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1 + ∥∇· q∥k+1)"
"∥u −uh∥1 + ∥q −qh∥0 ≤Ch(∥u∥2 + ∥q∥1) ≤Ch∥f∥0"

Trích dẫn

"∥u −uh∥0 + ∥q −qh∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+1 + ∥q∥k+1)"
"∥∇(ΠVhu −uh)∥0 + ∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+1 + ∥q∥k+1)"
"∥u −uh∥0 ≤Chm+1(∥u∥m+1 + ∥q∥m)"
"∥q −qh∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1)"
"∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Chk+1(∥u∥k+2 + ∥q∥k+1)"
"∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Chk+2(∥u∥k+2 + ∥∇· q∥k+1 + ∥q∥k+1)"
"∥∇· (ΠPhq −qh)∥0 ≤Ch2(∥u∥2 + ∥∇· q∥1 + ∥q∥1)"
"∥u −uh∥0 ≤Chm+1(∥u∥m+1 + ∥q∥m+2)"

Thông tin chi tiết chính được chắt lọc từ

Superconvergence error estimates for the div least-squares finite element method on elliptic problems

by Gang Chen,Fa... lúc arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.04918.pdf

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Wie können die Superkonvergenzresultate genutzt werden, um effizientere numerische Verfahren zu entwickeln

Die Superkonvergenzresultate können genutzt werden, um effizientere numerische Verfahren zu entwickeln, die genauere Lösungen mit weniger Rechenaufwand liefern. Durch die Ausnutzung der überlegenen Konvergenzeigenschaften können numerische Algorithmen optimiert und verfeinert werden. Zum Beispiel können adaptive Mesh-Verfeinerungstechniken basierend auf den Superkonvergenzresultaten entwickelt werden, um die Genauigkeit der Lösungen zu verbessern und den Ressourcenverbrauch zu minimieren. Darüber hinaus können die Superkonvergenzresultate als Qualitätsmaßstab für numerische Verfahren dienen und bei der Entwicklung neuer effizienter Algorithmen eine wichtige Rolle spielen.