時間一致的投資組合選擇:不完全市場中的等級依賴型效用

核心概念

本文研究了一個具有等級依賴型效用的代理人在不完全金融市場中的投資組合選擇問題。在常數係數市場和CRRA效用的情況下,我們描述了確定性嚴格均衡策略。對於時間不變的概率加權函數,我們提供了確定性嚴格均衡策略的全面描述。如果存在,唯一的非零均衡可以通過求解自治常微分方程來確定。對於時間變化的概率加權函數,我們觀察到可能存在無限多個非零確定性嚴格均衡策略,這些策略源自於一個非線性奇異常微分方程的正解。通過指定奇異常微分方程的最大解,我們能夠識別所有的正解。此外,我們還解決了從眾多可用的均衡策略中選擇最優策略的問題。

摘要

本文研究了一個具有等級依賴型效用的代理人在不完全金融市場中的投資組合選擇問題。

第一部分(第3節)中,概率加權函數隨時間不變。在一個溫和的技術假設下,我們對所有可能的情況進行了全面討論。我們確定了沒有確定性嚴格均衡策略的情況,以及0是唯一確定性嚴格均衡策略的情況。對於其他情況,我們通過求解一個自治常微分方程,展示了存在一個唯一的非零確定性嚴格均衡策略,並將其以封閉形式表示出來。特別是,我們允許CRRA效用函數是凸的,而現有文獻中的效用函數都是concave的。此外,我們對概率加權函數的形狀沒有任何限制,而Hu, Jin和Zhou (2021)假設概率加權函數要么是凸的,要么是倒S型的,以確保他們的不等式(8)成立。

第二部分(第4節)中,概率加權函數隨時間變化,其形狀也沒有受到限制。出於技術原因,我們考慮了比對數效用更加風險厭惡的CRRA效用。在這種情況下,非零確定性嚴格均衡策略可以從一個非線性反向常微分方程的正解中生成。在各種溫和的技術假設下,我們建立了正解的存在性和唯一性。存在性的建立類似於Hu, Jin和Zhou (2021),但我們的條件更弱。更重要的是,我們得到了一些更深入的討論:

1. 通常情況下,存在無限多個正解,因此通過反向求解常微分方程很難(如果不是不可能)找到所有正解。我們可以通過將終值設為正但足夠小的反向常微分方程的解來近似最大正解。但是,我們無法通過這種方式找到其他正解。這促使我們尋找一種"前向"的方法來獲得所有正解,因為常微分方程在終值時間以外是正則的。

2. 每個正解都會生成一個確定性嚴格均衡策略。那麼,代理人應該從這些無限多個均衡策略中選擇哪一個呢?我們建議代理人應該最大化所有確定性嚴格均衡策略中初始時間的等級依賴型效用。這導致了對所謂最優均衡的討論。據我們所知,現有文獻中還沒有關於時間不一致控制問題的最優均衡的討論,但有三篇最近的論文:Huang和Zhou (2019, 2020)以及Huang和Wang (2021),它們討論了時間不一致停止問題的最優均衡。

统计

在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) < 0,則不存在確定性嚴格均衡策略。
在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) > 0,則0是唯一的確定性嚴格均衡策略。
在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ = 0,且1 - γh''(0) > 0,則0是唯一的確定性嚴格均衡策略。
在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ = 0,且1 - γh''(0) ≤ 0,則不存在確定性嚴格均衡策略。
在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ ≠ 0,且G(y1) > θ2T,則式(3.10)給出了唯一的確定性嚴格均衡策略。
在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ ≠ 0,且G(y1) ≤ θ2T,則不存在確定性嚴格均衡策略。

引用

"在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) < 0,則不存在確定性嚴格均衡策略。"
"在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) > 0,則0是唯一的確定性嚴格均衡策略。"
"在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ = 0,且1 - γh''(0) > 0,則0是唯一的確定性嚴格均衡策略。"
"在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ = 0,且1 - γh''(0) ≤ 0,則不存在確定性嚴格均衡策略。"
"在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ ≠ 0,且G(y1) > θ2T,則式(3.10)給出了唯一的確定性嚴格均衡策略。"
"在時間不變的概率加權函數情況下,如果h'(0) = 0,μ ≠ 0,且G(y1) ≤ θ2T,則不存在確定性嚴格均衡策略。"

从中提取的关键见解

Time-Consistent Portfolio Selection for Rank-Dependent Utilities in an Incomplete Market

by Jiaqin Wei, ... 在 arxiv.org 10-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2409.19259.pdf

更深入的查询

如何在時間變化的概率加權函數情況下,找到所有可能的確定性嚴格均衡策略?

在時間變化的概率加權函數情況下，找到所有可能的確定性嚴格均衡策略（DSES）涉及到解決一個非線性回歸常微分方程（ODE）。根據文中所述，當代理人的效用函數為CRRA（常數相對風險厭惡）且概率加權函數隨時間變化時，DSES可以通過正解的存在性來生成。具體而言，這些正解來自於一個非線性回歸ODE，該ODE在終端時間是奇異的。為了找到所有可能的DSES，研究者可以通過指定該奇異ODE的最大解來識別所有正解。這一過程需要滿足一些技術假設，以確保正解的存在性和唯一性。最終，所有的正解都將生成相應的DSES，並且代理人可以根據其目標函數來選擇最優策略。

如果代理人的目標是最大化某個特定的目標函數,而不是等級依賴型效用,那麼均衡策略會有什麼不同?

如果代理人的目標是最大化某個特定的目標函數，而不是等級依賴型效用（RDU），則均衡策略的性質可能會顯著改變。具體來說，均衡策略將不再受到概率加權函數的影響，這意味著代理人可能會採用更為直接的期望效用最大化方法。這樣的策略可能會導致時間一致性，因為代理人不再需要考慮未來的自我與當前自我的不一致性。此外，均衡策略的選擇將取決於目標函數的具體形式，這可能會導致不同的風險偏好和資產配置。因此，均衡策略的結構和特性將會根據代理人的具體目標函數而有所不同。

本文的結果是否可以推廣到更一般的效用函數和市場模型?

本文的結果在一定程度上可以推廣到更一般的效用函數和市場模型。雖然本文主要集中於CRRA效用函數和具有常數係數的市場模型，但其方法論和分析框架可以應用於其他類型的效用函數，例如指數效用或其他非線性效用函數。對於市場模型，雖然本文考慮的是不完全市場，但其結果也可以擴展到更一般的市場情況，只要滿足相應的技術假設。此外，對於時間變化的概率加權函數，本文的分析方法同樣可以適用於其他類型的概率加權函數，只要這些函數滿足一定的光滑性和單調性條件。因此，本文的結果為未來在更廣泛的背景下進行研究提供了基礎。