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本文針對插入概率較低的兩種二進制插入通道模型，推導出通道容量的漸近表達式，並證明了使用獨立同分佈伯努利(1/2)輸入可以達到漸近容量。
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Capacity Approximations for Insertion Channels with Small Insertion Probabilities
Tegin, B., & Duman, T. M. (2024). Capacity Approximations for Insertion Channels with Small Insertion Probabilities. arXiv preprint arXiv:2411.14771v1.
本研究旨在推導出兩種常見二進制插入通道模型在低插入概率下的通道容量漸近表達式。
更深入的查询
如何將本文提出的容量估計方法推廣到其他類型的同步錯誤通道，例如刪除通道和重複通道？
本文提出的容量估計方法主要基於以下幾個步驟：
利用資訊穩定性定理： 本文利用了 Dobrushin 的編碼定理，該定理表明無記憶同步錯誤通道的通道容量可以通過每個位元的最大互信息來定義。
將速率分解為熵項： 本文將最大速率分解為幾個熵項，這些熵項分別代表輸出中的隨機性、插入模式和插入位元的不確定性，以及在觀察到輸入和輸出序列後的歧義性。
簡化插入過程： 為了簡化分析，本文引入了一個修改後的插入過程，該過程限制了每個擴展運行中最多只能插入一個位元。
計算熵項： 本文針對修改後的插入過程，計算了每個熵項的值，並證明了這些值與原始插入過程的熵項相差無幾。
推導容量逼近： 最後，本文結合所有熵項的值，推導出插入通道容量的逼近值。
對於刪除通道和重複通道，我們可以採用類似的思路進行容量估計：
刪除通道：
可以利用類似於修改後的插入過程的思想，引入一個修改後的刪除過程，該過程限制了每個擴展運行中最多只能刪除一個位元。
然後，可以根據修改後的刪除過程，計算每個熵項的值，並證明這些值與原始刪除過程的熵項相差無幾。
最後，可以結合所有熵項的值，推導出刪除通道容量的逼近值。
重複通道：
可以將重複通道視為一種特殊的插入通道，其中插入的位元與之前的位元相同。
然後，可以利用本文提出的方法，計算重複通道容量的逼近值。
需要注意的是，由於刪除通道和重複通道的特性與插入通道不同，因此在具體的分析過程中需要進行相應的調整。
在實際的 DNA 儲存系統中，除了插入錯誤外，還存在其他類型的錯誤，例如刪除錯誤和替換錯誤。如何將這些錯誤考慮到通道容量的分析中？
在實際的 DNA 儲存系統中，插入錯誤、刪除錯誤和替換錯誤通常會同時出現。為了更準確地分析通道容量，需要將所有這些錯誤都考慮進去。以下是一些可行的方法：
建立更複雜的通道模型： 可以建立一個更複雜的通道模型，該模型能夠同時描述插入錯誤、刪除錯誤和替換錯誤。例如，可以使用 Markov 模型來描述不同類型錯誤之間的轉移概率。
利用資訊理論工具： 可以利用資訊理論工具，例如典型集和聯合典型解碼，來分析包含多種類型錯誤的通道的容量。
採用模擬方法： 可以採用模擬方法來估計包含多種類型錯誤的通道的容量。例如，可以使用蒙特卡洛模擬來生成大量的通道輸出，並根據這些輸出統計出通道容量的逼近值。
需要注意的是，將多種類型錯誤考慮到通道容量的分析中會顯著增加分析的複雜度。因此，在實際應用中，需要根據具體的需求和系統的複雜度來選擇合適的分析方法。
本文的研究結果是否可以用於設計更有效的編碼和解碼方案，以提高基於插入通道的通訊系統的可靠性和效率？
本文的研究結果對於設計更有效的編碼和解碼方案具有重要的指導意義。以下是一些可能的應用方向：
優化碼字設計： 本文的研究結果表明，插入通道的容量與輸入序列的運行長度分佈密切相關。因此，可以根據通道的插入概率和目標碼率，設計出具有特定運行長度分佈的碼字，以提高編碼效率。
改進解碼算法： 本文提出的修改後的插入過程可以簡化解碼過程。基於此，可以設計出更有效的解碼算法，例如基於置信傳播的解碼算法，以提高解碼速度和準確率。
設計聯合編碼和解碼方案： 可以利用本文的研究結果，設計出針對插入通道的聯合編碼和解碼方案，例如，利用 Turbo 碼或 LDPC 碼進行編碼，並採用基於因子圖的解碼算法進行解碼，以進一步提高系統的可靠性和效率。
總之，本文的研究結果為設計更有效的基於插入通道的通訊系統提供了理論依據和設計指導，有助於提高 DNA 儲存系統和其他類似應用的性能。
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