본 회고록은 로저스-라마누잔 항등식을 둘러싼 여러 가지 발전, 특히 현재 제목에 영향을 미친 L. J. 로저스의 이전 회고록[7]에서 영감을 받았습니다. 저자는 q-급수 및 로저스-라마누잔 항등식에 대한 개인적인 관심, 취향 및 교육이 Mourad Ismail의 연구에 의해 엄청난 영향을 받았음을 인정합니다. 저자는 이 글을 그의 생일을 기념하여 Mourad에게 바칩니다.
1. 로저스-라마누잔 및 로저스-셀베르그 항등식
로저스의 원래 방법론[7]을 기반으로 한 유명한 로저스-라마누잔 항등식에 대한 한 가지 증명은 최근 Rosengren[8]에 의해 제시되었습니다. 이는 두 함수(합과 곱 측면 모두)를 만족하는 '자가 복제' 방정식을 기반으로 합니다. Rosengren은 [9]에서 유사한 방법을 사용하여 다른 항등식들을 증명했습니다.
이러한 모든 항등식의 곱 측면은 적절한 정규화 후 모듈러 함수가 됩니다. 즉, 정수 b > a > 0에 대해 곱은 모듈러 함수로 변환됩니다. 예를 들어, 다음과 같이 쓰면 방정식 (2)는 대칭 형식을 취합니다. 여기서 q1/6은 eta 유형 곱 1/(q2; q4)2∞의 모듈러 정규화에 해당합니다. 실제로 부호 변화는 (2)의 동반 항등식을 생성하며, (1)을 보완하는 G(q), H(q)에 대한 유사한 닫힌 형식도 있습니다.
그러나 A(q), B(q), C(q) 및 G(q), H(q)에 대한 이러한 대안적인 모듈러 방정식은 해당 로저스-라마누잔 유형 항등식의 합 측면에 대해 직접 설정하기가 더 어려워 보입니다.
2. 카나데-러셀 모듈로 9 항등식
카나데-러셀 모듈로 9 추측 항등식[5,11]의 곱 측면에 대해 유사한 모듈러 정규화를 수행하여 이러한 곱 측면이 방정식을 만족하는지 확인할 수 있습니다. 또한 다음을 만족합니다.
[8,9]의 기술은 K1(q), K2(q), K3(q)에 대한 항등식의 합 측면에 거의 적용할 수 없습니다. 이번에는 이중 합을 다루기 때문입니다.
3. 앤드류스-고든 항등식
로저스-라마누잔 항등식은 각 k ≥ 2에 대한 곱 측면을 특징으로 하는 앤드류스-고든 항등식이라는 일반적인 계열의 첫 번째 항목입니다. 마찬가지로 모듈로 7 앤드류스-고든 항등식의 곱 부분은 다음과 같습니다.
합 측면은 (k −1)겹 합에 해당합니다. k = 3의 경우 eta 유형 곱은 섹션 1에서 이미 다룬 A(q), B(q), C(q)에 대한 곱과 일치합니다. 합 측면에 대한 유사한 처리는 알려져 있지 않습니다.
불행히도 모듈로 9, 13(및 그 이상)에 대한 이야기의 간단한 확장은 없는 것 같습니다.
4. 비대칭 카나데-러셀 항등식
모듈러 함수가 아닌 더 많은 카나데-러셀 모듈로 9 항등식[5,11]이 있습니다. 여기에는 다음이 포함됩니다.
마지막 항등식의 합 형태는 Hickerson[2]에 의해 원래 형태에서 단순화되었으며, 그는 또한 ω를 1의 원시 세제곱근으로 하고 ω를 켤레 복소수로 하여 항등식을 보완했으며, 켤레 복소수도 포함했습니다(따라서 총 4개의 추가 추측 항등식이 있습니다). 이러한 새로운 인스턴스에 대한 모듈러 유형 함수 방정식을 기대하기는 어렵지만 곱 측면은 모듈러와 유사한 동작을 보일 수 있습니다.
실수 a ∈ (0, 1]를 고려하십시오. Zagier는 [12]의 마지막 예 4에서 x → 0일 때 점근 공식을 간략하게 설명합니다. 여기서 ζ(s, a)는 Hurwitz 제타 함수를 나타내고 Bn(t) 및 Bn = Bn(1)은 각각 Bernoulli 다항식과 Bernoulli 수입니다. n > 1 홀수에 대해 Bn = Bn(1) = 0임을 유의하십시오. 보다 일반적으로 n > 1 홀수에 대해 Bn(1 − a) = −Bn(a)이므로 x → 0일 때 점근 공식은 다음과 같습니다. 여기서 N > 1은 임의로 취할 수 있습니다. 유리수 a의 경우 가장 낮은 항까지 a/b로 쓰고 x에 2πbx를 취하면 점근 공식은 다음과 같습니다.
추가로 x → 0일 때 임의의 N > 1에 대해 다음과 같습니다. 이는 대칭 곱의 모듈러 동작(섹션 1에서 암시됨)과 일치합니다. 동시에 q = e−2πx → 1일 때 a ̸= b/2 및 a ̸= b에 대한 개별 곱 (qa; qb)∞의 점근 공식은 (3)의 짝수 n에 대한 항이 여기에 기여하기 때문에 분명히 매우 다릅니다.
그러나 q → 1일 때 모듈러와 유사한 점근 공식을 나타내는 (qa; qb)∞에서 컴파일된 비대칭 곱의 예가 (무한히) 많이 있습니다(하지만 [12]에 설명된 약간의 추가 분석을 통해 q가 다른 1의 근에 접근하는 경우도 마찬가지).
카나데-러셀 곱 K4(q) 및 K5(q)의 예를 통해 이를 설명합니다. r = 3에 대해 합 공식 및 감마 함수에 대한 곱셈 공식을 사용하면 1/(q, q4, q7; q9)∞|q=e−2πx 및 1/(q; q3)∞|q=e−2πx 모두 x → 0일 때 동일한 점근 동작을 나타냄을 알 수 있습니다.
유사한 완전 일치는 q → 1일 때 1/(q2, q5, q8; q9)∞ 및 1/(q2; q3)∞의 점근 공식에 대해 발생합니다.
특히 q → 1일 때 q1/12K4(q) 및 q1/12K5(q)의 점근 공식은 모듈러 함수인 q1/12/(q, q2; q3)∞의 점근 공식과 일치합니다. 그러나 함수 ˆK4(q) = q1/12K4(q) 및 ˆK5(q) = q1/12K5(q)는 고전적인 의미에서 모듈러가 아니지만 벡터 값 모듈러 함수의 구성 요소일 수 있으므로 제어 가능한 모의 세타와 유사한 동작을 합니다[6, 13]. 수치적으로 확인할 수 있는 것은 다양한 k(및 각 k에 대한 특정 부호 선택)에 대한 함수 ˆK4(±qk) 및 ˆK5(±qk)가 모듈러 함수 필드의 계수를 사용하여 서로 선형적으로 관련된 것으로 보이지 않는다는 것입니다.
[14]를 반영하여 특정 q-합-곱 항등식에 대한 1의 근에서의 점근 공식은 그 증명의 근거가 될 수 있습니다. 곱 측면에서는 할 수 있는 작업처럼 보이지만 합 측면에서는 효과적으로 작동시킬 수 있는 전략이 없는 것 같습니다. 여전히 Rogers 및 Rosengren[7–9]의 정신에 입각한 창의적인 작업이 필요합니다.
5. 유한 항등식
실제로 q 7→±qk 유형의 조작은 로저스-라마누잔(-유형) 항등식의 합 측면의 유한(q-다항식) 버전 수준에서 자연스럽습니다. 이들은 일반적으로 조합적 해석에서 비롯되며 많은 것들이 문헌에 기록되어 있습니다. 역사적 개요 및 참고 문헌은 [10] 및 [11]을 참조하십시오. 이러한 개인적인 믿음에도 불구하고 방정식 (1) 및 (2)의 유한 버전이 존재한다는 증거는 없는 것 같습니다.
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First memoir on the asymptotics of certain infinite products
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본 회고록에서 제시된 비대칭 곱에 대한 점근 분석 방법을 다른 q-급수 항등식, 예를 들어 라마누잔의 모의 세타 함수에 적용할 수 있을까요?
앤드류스-고든 항등식의 합 측면에 대한 모듈러 방정식의 부재는 무엇을 의미할까요? 이는 이러한 항등식의 조합적 해석에 대한 제한을 시사하는 것일까요?
본 회고록에서 소개된 q-급수 항등식의 점근 분석은 양자 컴퓨팅 및 정보 이론과 같은 분야에 어떤 영향을 미칠 수 있을까요?
