본 논문은 불완전하게 이전 가능한 효용(ITU) 하에서 매칭 모델을 다룬 연구 논문입니다.
서론
동기 부여
기존의 매칭 모델에서 주로 사용되어 온 이전 가능한 효용(TU) 가정은 파트너의 선택이 내생적인 매칭 시장에서는 현실을 제대로 반영하지 못하는 경우가 많습니다. 예를 들어, 노동 시장에서는 세금 제도, 결혼 시장에서는 가계 내 자원 배분 및 협상력에 따라 효용이 달라질 수 있습니다. 본 논문에서는 이러한 현실을 반영하기 위해 ITU 프레임워크를 제시합니다.
설정 및 표기법
본 논문에서는 남녀 간의 결혼 시장을 예시로 들어 ITU 매칭 모델을 설명합니다. 남성과 여성은 각각 $i \in I$, $j \in J$로 표기되며, 매칭은 $\mu_{ij}$로 나타냅니다. 남성과 여성은 각각 유형 $x \in X$, $y \in Y$로 분류될 수 있으며, 각 유형의 총량은 $n_x$, $m_y$로 표기됩니다.
모델 유형
본 논문에서는 다양한 ITU 모델을 소개합니다.
- 단일 세율 또는 누진세율이 적용되는 노동 시장 모델(예시 1, 2)
- 파트너가 소득을 개인 소비와 공공 소비에 분배하는 결혼 시장 모델(예시 3, 4)
쌍별 협상 집합
파레토 효율성 접근 방식 vs. 파레토 가중치 접근 방식
본 논문에서는 파트너가 파레토 효율적인 방식으로 의사 결정을 내린다는 "파레토 효율성 가정"을 따릅니다. 즉, 파트너는 서로에게 더 나은 효용을 제공하는 선택지를 항상 선택합니다. 그러나 파레토 가중치 접근 방식과 달리, 파트너가 무작위로 의사 결정을 내린다고 가정하지 않습니다.
실행 가능 집합의 속성
본 논문에서는 실행 가능한 효용 할당 집합(협상 집합)에 대한 몇 가지 가정을 제시합니다. 협상 집합은 닫혀 있고, 비어 있지 않으며, 하방 포괄적이며, 상방 제한적이어야 합니다.
경계까지의 거리 함수
경계까지의 거리 함수는 협상 집합을 암시적으로 나타내는 데 유용한 도구입니다. 이 함수는 주어진 효용 할당이 협상 집합의 경계까지 얼마나 떨어져 있는지 측정합니다.
예시
본 논문에서는 TU, NTU, LTU, ETU 등 다양한 유형의 협상 집합을 예시와 함께 설명합니다.
이질성이 없는 안정적인 매칭
설정
본 논문에서는 남성과 여성이 이성애적 쌍을 형성하거나 미혼으로 남을 수 있는 매칭 프레임워크를 가정합니다. 미혼으로 남을 경우, 남성 $i$와 여성 $j$는 각각 예약 효용 $U_{i0}$와 $V_{0j}$를 얻습니다. 매칭될 경우, 남성 $i$와 여성 $j$는 적절한 협상 집합 $F_{ij}$ 내에서 협상을 통해 간접 보수 $u_i$와 $v_j$를 결정합니다.
안정성
불완전하게 이전 가능한 효용 프레임워크에서 개별 균형 결과는 다음과 같은 조건을 충족하는 세 개의 변수 $(\mu_{ij}, u_i, v_j)_{i \in I, j \in J}$로 정의됩니다.
- 매칭 $\mu$는 실현 가능해야 합니다.
- 모든 $i$와 $j$에 대해 $D_{ij}(u_i, v_j) \ge 0$이 성립해야 하며, $\mu_{ij} = 1$인 경우 등식이 성립해야 합니다.
- 모든 $i$와 $j$에 대해 $u_i \ge U_{i0}$와 $v_j \ge V_{0j}$가 성립해야 하며, 각각 $\sum_j \mu_{ij} = 0$와 $\sum_i \mu_{ij} = 0$인 경우 등식이 성립해야 합니다.
이질성을 고려한 안정적인 매칭
관측되지 않은 이질성
본 논문에서는 관측 가능한 유형 내에서 개인이 이질적인 취향을 가지고 있다고 가정합니다. 남성 $i$의 관측 가능한 유형은 $x_i \in X$로, 여성 $j$의 관측 가능한 유형은 $y_j \in Y$로 표기합니다. 남성 $i$와 여성 $j$가 매칭될 때 얻을 수 있는 실행 가능한 효용 집합 $F_{ij}$는 다음과 같은 구조적 확률성을 가진 확률 변수입니다.
- 남성 $i$와 여성 $j$가 매칭될 경우, $u_i = U_{x_i y_j} + \epsilon_{iy_j}$ 및 $v_j = V_{x_i y_j} + \eta_{x_i j}$를 만족하는 $(U_i, V_j) \in F_{x_i y_j}$가 존재합니다. 여기서 $F_{x_i y_j}$는 정의 1의 의미에서 적절한 협상 집합입니다.
- 남성 $i$와 여성 $j$가 미혼으로 남을 경우, 각각 효용 $\epsilon_{i0}$과 $\eta_{0j}$를 얻습니다.
- 확률 변수 $(\epsilon_{iy}){y \in Y_0}$와 $(\eta{xj})_{x \in X_0}$는 각각 $P_x$와 $Q_y$에서 독립적이고 동일하게 분포된 확률 변수입니다.
협상 집합의 다른 매개변수화
본 논문에서는 협상 프론티어를 명시적으로 매개변수화하여 분석을 용이하게 합니다. $F_{xy}$를 적절한 협상 집합이라고 하고, $D_{xy}$를 연관된 경계까지의 거리 함수라고 합니다. $(u, v)$를 $D_{xy}(u, v) = 0$을 만족하는 협상 집합의 프론티어에 있는 효용 할당이라고 합니다. 쐐기 $w$를 $w = u - v$로 정의합니다.
총체적 균형
총체적 균형 결과는 다음과 같은 세 가지 조건을 충족하는 세 개의 변수 $(\mu_{xy}, U_{xy}, V_{xy})_{x \in X, y \in Y}$로 정의됩니다.
- $\mu$는 내부 매칭입니다. 즉, $\mu \in M_0$입니다.
- $(U, V)$는 실현 가능합니다. 즉, 모든 $x \in X$와 $y \in Y$에 대해 $D_{xy}(U_{xy}, V_{xy}) = 0$입니다.
- $\mu$, $U$, $V$는 시장 청산 조건 $\mu = \nabla G(U) = \nabla H(V)$에 의해 관련됩니다. 여기서 $G(U)$와 $H(V)$는 각각 남성과 여성의 총 간접 잉여입니다.
존재성, 유일성 및 계산
총체적 균형 결과 $(\mu, U, V)$의 존재성과 유일성을 증명하기 위해 매칭 모델을 수요 시스템으로 재구성합니다. 정의 4의 조건 $D_{xy}(U_{xy}, V_{xy}) = 0$은 $U_{xy} = U_{xy}(W_{xy})$ 및 $V_{xy} = V_{xy}(W_{xy})$를 만족하는 쐐기 $W_{xy} = U_{xy} - V_{xy}$의 존재와 동일합니다. 이제부터 이러한 쐐기는 시장 가격의 역할을 하는 반면, 쌍 유형 $xy \in XY$는 남성이 생산하고 여성이 수요하는 재화로 취급됩니다. $\partial G(U(W)) / \partial U_{xy}$와 $\partial H(V(W)) / \partial V_{xy}$를 각각 $xy$ 재화의 공급과 수요로 해석하여 초과 수요 함수 $Z(W) := \nabla H(V(W)) - \nabla G(U(W))$를 도입합니다.
다음 단계는 모든 재화에 대한 초과 수요가 0이 되는 가격 벡터 $W$를 찾는 것입니다. 이러한 가격 벡터는 존재하며 고유합니다.
결론
본 논문에서는 불완전하게 이전 가능한 효용 하에서 매칭 모델을 분석하고, 총체적 균형 결과의 존재성과 유일성을 증명했습니다. 또한, 협상 집합의 경계까지의 거리 함수를 사용하여 분석을 단순화하고, 다양한 유형의 협상 집합을 예시와 함께 설명했습니다.
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Matching under Imperfectly Transferable Utility
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ITU 프레임워크를 사용하여 현실 세계의 매칭 시장을 분석하고 그 결과를 정책 결정에 활용할 수 있을까요?
