Der geometrische Mittelwert für T-positiv definite Tensoren und die damit verbundene Riemannsche Geometrie
核心概念
Der geometrische Mittelwert von zwei T-positiv definiten Tensoren ist die eindeutige T-positiv definite Lösung einer algebraischen Riccati-Tensorgleichung und kann als Lösung algebraischer Riccati-Matrixgleichungen ausgedrückt werden. Darüber hinaus ist der geometrische Mittelwert der Mittelpunkt eines eindeutigen Geodäten, der die Tensoren verbindet, und die zugehörige Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine Cartan-Hadamard-Riemannsche Mannigfaltigkeit.
摘要
In dieser Arbeit wird der geometrische Mittelwert von zwei positiv definiten Matrizen auf T-positiv definite Tensoren verallgemeinert. Zunächst wird der geometrische Mittelwert von T-positiv definiten Tensoren definiert und verschiedene Eigenschaften, die ein "Mittelwert" erfüllen sollte, wie Idempotenz und Kommutativität, bewiesen. Außerdem wird gezeigt, dass der geometrische Mittelwert die eindeutige T-positiv definite Lösung einer algebraischen Riccati-Tensorgleichung ist und als Lösung algebraischer Riccati-Matrixgleichungen dargestellt werden kann.
Darüber hinaus wird eine Riemannsche Metrik auf der konvexen offenen Menge der T-positiv definiten Tensoren eingeführt und der geometrische Mittelwert in Bezug auf diese Riemannsche Metrik interpretiert. Insbesondere wird bewiesen, dass der geometrische Mittelwert zweier T-positiv definiter Tensoren der Mittelpunkt des eindeutigen Geodäten ist, der die Tensoren verbindet, und dass die zugehörige Riemannsche Mannigfaltigkeit vollständig und von nicht-positiver Krümmung ist.
Geometric mean for T-positive definite tensors and associated Riemannian geometry
统计
Der geometrische Mittelwert von A und B ist explizit dargestellt als
bcirc−1 (FH
p ⊗In) · diag(A1#B1, ..., Ap#Bp) · (Fp ⊗In),
wobei für jedes i = 1, ..., p
Ai =
∑p
k=1 ω(i−1)(k−1)A(k) und Bi =
∑p
k=1 ω(i−1)(k−1)B(k).
引用
"Der geometrische Mittelwert von zwei T-positiv definiten Tensoren A und B ist die eindeutige T-positiv definite Lösung der algebraischen Riccati-Tensorgleichung X ∗A−1 ∗X = B."
"Der geometrische Mittelwert von A und B ist der Mittelpunkt des eindeutigen Geodäten, der A und B verbindet, und die zugehörige Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine Cartan-Hadamard-Riemannsche Mannigfaltigkeit."
更深入的查询
Wie lassen sich die Ergebnisse dieser Arbeit auf den Fall von mehr als zwei T-positiv definiten Tensoren verallgemeinern
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Das geometrische Mittel für T-positiv definite Tensoren könnte in verschiedenen Anwendungen in Bereichen wie Statistik, Quantentheorie und Bildverarbeitung nützlich sein. In der Statistik könnte es bei der Analyse von hochdimensionalen Datensätzen und bei der Modellierung von komplexen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet werden. In der Quantentheorie könnte es bei der Berechnung von Erwartungswerten und bei der Beschreibung von Quantenzuständen eine Rolle spielen. In der Bildverarbeitung könnte es bei der Rekonstruktion von Bildern und der Mustererkennung eingesetzt werden.
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