Hochgenaue Lösung partieller Differentialgleichungen mit Hilfe von Unterraumverfahren auf Basis neuronaler Netze
Das vorgestellte Unterraumverfahren auf Basis neuronaler Netze ermöglicht die hochgenaue Lösung partieller Differentialgleichungen bei geringem Trainingsaufwand.
Konvergenz, Divergenz und inhärente Oszillationen in MFS-Lösungen zweidimensionaler Laplace-Neumann-Probleme
Die Methode der Fundamentallösungen (MFS) kann korrekte Lösungen für Laplace-Neumann-Probleme liefern, auch wenn die Zwischenergebnisse (die Amplituden der Hilfsquellen) divergieren und oszillieren.
Erweiterte virtuelle Elementmethode für elliptische Probleme mit schwach singulären Lösungen
Die Arbeit stellt eine neuartige erweiterte virtuelle Elementmethode (X-VEM) vor, die speziell für elliptische Probleme mit singulären Lösungen entwickelt wurde. Die Methode ermöglicht eine optimale Approximation auch bei Vorliegen von Singularitäten.
Ein neuer nachweislich stabiler gewichteter Algorithmus zur Zustandsumverteilung
Der Artikel präsentiert einen praktischen und nachweislich monotonen, TVD-stabilen und GKS-stabilen Finite-Volumen-Algorithmus mit Zustandsumverteilung auf geschnittenen Zellen. Die Analyse zeigt, warum der ursprüngliche Algorithmus zur Zustandsumverteilung so gut funktioniert und erklärt den Nutzen eines Vorverarbeitungsschritts.
Nichtlineare Beschleunigungsverfahren auf Basis konjugierter Residuen
Der Artikel entwickelt eine neue Klasse nichtlinearer Beschleunigungsalgorithmen, die auf der Erweiterung von Verfahren vom Typ der konjugierten Residuen von linearen auf nichtlineare Gleichungen basieren. Der Hauptalgorithmus weist starke Ähnlichkeiten mit der Anderson-Beschleunigung sowie mit inexakten Newton-Verfahren auf, je nachdem, welche Variante implementiert wird. Die Autoren beweisen theoretisch und verifizieren experimentell, dass ihre Methode ein leistungsfähiger beschleunigter iterativer Algorithmus ist.
Garantierte untere Eigenwertschranken durch eine adaptive hybride Hochordnungsmethode
Die Arbeit präsentiert eine neue hybride Hochordnungsmethode (HHO), die direkt garantierte untere Eigenwertschranken für das Laplace-Eigenwertproblem berechnen kann. Die Methode verwendet eine feinabgestimmte Stabilisierung, die eine a priori quasi-beste Approximation und verbesserte L2-Fehlerabschätzungen ermöglicht. Außerdem erlaubt sie eine stabilisierungsfreie, zuverlässige und effiziente a posteriori Fehlerkontrolle. Die zugehörige adaptive Gitterverfeinerung zeigt in numerischen Benchmarks optimale höhere empirische Konvergenzraten.
Effiziente konvexe Optimierung zur Erhaltung der Grenzen für ein hochgenaues Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-System
Eine einfache und effiziente konvexe Optimierungsmethode wird vorgestellt, um hochgenaue numerische Lösungen für Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Systeme zu erhalten, ohne die Erhaltung und Genauigkeit zu verlieren.
Effiziente Lösung hochdimensionaler partieller Integro-Differentialgleichungen mit Sprüngen durch Temporal Difference Learning
Eine tiefe Lernmethode auf Basis von Temporal Difference Learning wird vorgestellt, um hochdimensionale partielle Integro-Differentialgleichungen mit Sprüngen effizient zu lösen. Die Methode nutzt neuronale Netzwerke zur Approximation der Lösung und der Nicht-Lokal-Terme und erreicht eine hohe Genauigkeit bei geringem Rechenaufwand.
Robuste hochgradige upwind-Summation-by-Parts-Methoden für nichtlineare Erhaltungsgleichungen
Hochgradige upwind-Summation-by-Parts-Methoden werden untersucht, um die Robustheit von numerischen Verfahren für nichtlineare Erhaltungsgleichungen zu verbessern.
Effiziente parallele Spektrale Verzögerte Korrektur-Methode
Die Arbeit präsentiert einen generischen Ansatz zur Berechnung optimierter Koeffizienten für die diagonale Vorkonditionierung in der Spektralen Verzögerten Korrektur-Methode (SDC). Dies ermöglicht effiziente parallele Zeitintegration sowohl für steife als auch für nicht-steife Probleme.
