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المفاهيم الأساسية
本論文では、0-1 ナップサック問題に対して、O(n + w^2_max log^4 w_max) 時間の決定性アルゴリズムを提案する。これは、これまでの最高の時間計算量 e^O(n + w^{12/5}_max) を改善するものである。
الملخص
本論文では、0-1 ナップサック問題に対する高速なアルゴリズムを提案している。
まず、Chen, Lian, Mao, and Zhang (2023) による「fine-grained proximity」手法を一般化し、部分解の有用な集合の大きさを抑えることができる。
次に、Deng, Mao, and Zhong (2023) による「witness propagation」手法を大幅に拡張し、動的計画法の高速化を実現する。具体的には、アイテムの重みを階層的に処理し、各段階で重みの多重度に応じて部分解の集合を絞り込むことで、効率的な動的計画法を実現している。
この手法の核心は、0-1 ナップサック問題の最適解と貪欲解の差が小さいことを利用し、部分解の集合を効率的に管理することにある。これにより、従来の手法よりも高速なアルゴリズムを実現している。
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0-1 Knapsack in Nearly Quadratic Time
الإحصائيات
最適解と貪欲解の差は重さの合計で 2w_max 以下である。
最適解に含まれるアイテムの重みランクは 2w_max 以下である。
اقتباسات
なし
استفسارات أعمق
入力アイテム数 n が wmax に比べて小さい場合、さらに高速なアルゴリズムは存在するか?
入力アイテム数 n が wmax に比べて小さい場合、アルゴリズムの効率を向上させることが可能です。He と Xu による独立した研究では、e^O(n^{1.5}w_{\text{max}}) の時間で解を見つけることができました。この結果を私たちの結果と組み合わせることで、実行時間を e^O(n + \min{n^{1.5}w_{\text{max}}, w_{\text{max}}^2}) に制限することができます。さらに、e^O(nw_{\text{max}}) の時間で解を見つけることは可能でしょう。この場合、(n + w_{\text{max}})^{2-δ} の条件付き下限に基づく最適なアルゴリズムに一致し、(min, +)-convolution 仮説に基づく条件付き下限を考慮しています。
0-1 ナップサック問題を (n + wmax + pmax)^{2-δ} 時間で解くことは可能か?
0-1 ナップサック問題を (n + w_{\text{max}} + p_{\text{max}})^{2-δ} 時間で解くことは可能でしょうか。Bringmann と Cassis による研究では、より簡単な無制限のナップサック問題に対してこのような実行時間を持つアルゴリズムが提供されています。また、このようなアルゴリズムを実行するには、有界差(min, +)-convolution の計算が必要です。現在のところ、このような実行時間の最適なアルゴリズムは存在していませんが、未来の研究によって実現される可能性があります。
0-1 ナップサック問題を O(n + w^2_max/2^Ω(√log w_max)) 時間で解くことは可能か?
0-1 ナップサック問題を O(n + w_{\text{max}}^2/2^{\Omega(\sqrt{\log w_{\text{max}}}) 時間で解くことは可能かどうかについて考えてみましょう。この実行時間を持つアルゴリズムは、(min, +)-convolution の最適な実行時間と一致します。このような実行時間を持つアルゴリズムは、より簡単な無制限のナップサック問題に対して既に知られています。このようなアルゴリズムが0-1 ナップサック問題にも適用可能かどうかは、今後の研究で明らかになる可能性があります。
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