المفاهيم الأساسية
本稿では、次元k ≤ 3の加法的四元符号の最適パラメータを決定した後、次元k = 3.5の場合の最適加法的四元符号のパラメータを完全に決定し、次元k = 4の場合について部分的な結果を示す。
参考文献: Kurz, S. (2024). Optimal additive quaternary codes of dimension 3.5. arXiv preprint arXiv:2410.07650.
研究目的: 本稿では、次元k = 3.5 の場合の最適加法的四元符号のパラメータを完全に決定し、次元k = 4の場合について部分的な結果を示すことを目的とする。
手法: 本稿では、射影空間における直線集合を用いた幾何学的構成法を用いて、最適加法的四元符号を構成する。具体的には、射影空間PG(2k −1, 2)における直線集合で、各超平面に含まれる直線数が最大でsとなるものを構成することで、長さn、次元k、最小ハミング距離n − sの加法的四元符号を構成する。
主な結果: 次元k = 3.5の場合の最適加法的四元符号のパラメータを完全に決定した。具体的には、s ∈ {6, 7, 12, 13}の場合について、最適加法的四元符号の生成行列を与えている。また、次元k = 4の場合について、既存の構成法では得られないいくつかのsの値に対して、最適加法的四元符号を構成し、そのパラメータをまとめた表を示している。
結論: 本稿では、次元k = 3.5の場合の最適加法的四元符号のパラメータを完全に決定し、次元k = 4の場合について部分的な結果を示した。これらの結果は、加法的四元符号の特性をより深く理解し、符号化理論における更なる発展に貢献するものである。
الإحصائيات
次元k = 3.5の場合、s ∈ {6, 7, 12, 13}に対して最適加法的四元符号の生成行列が与えられている。
次元k = 4の場合、s > 60でsが2, 3, 7, 8を法として21と合同な場合に限り、線形符号よりも優れた符号が存在する。
n4(44) ≥ n4(23) + n4(21)は等号で成立する。
s ∈ {49, 50}の場合、容易な幾何学的構成法が存在する。