المفاهيم الأساسية
不規則な幾何学に対応したフーリエニューラルオペレーター(Geo-FNO)は、不規則な入力ドメインを一様なラテント空間に変形することで、高速フーリエ変換を適用できるようにする。これにより、任意の幾何学に対して効率的かつ柔軟にPDEを解くことができる。
الملخص
本研究では、不規則な幾何学に対応したフーリエニューラルオペレーター(Geo-FNO)を提案している。Geo-FNOは、不規則な入力ドメインを一様なラテント空間に変形することで、高速フーリエ変換を適用できるようにする。これにより、任意の幾何学に対して効率的かつ柔軟にPDEを解くことができる。
具体的には以下の3点が主な貢献である:
不規則な幾何学や非一様メッシュにも対応可能なGeo-FNOフレームワークを提案した。入力形式として、ポイントクラウド、メッシュ、設計パラメータなどが利用可能。
入力ドメインの変形を固定または学習可能とし、FNOアーキテクチャと端末的に学習できるよう設計した。
弾性、塑性、アドベクション、オイラー、ナビエ・ストークス方程式などの様々なPDEについて、順問題と逆問題の両方で実験を行った。Geo-FNOは従来の数値解法に比べて最大105倍高速で、既存のML系PDE解法に比べて2倍精度が高いことを示した。
الإحصائيات
弾性問題の入力メッシュサイズは972点、Geo-FNOモデルのパラメータ数は1,546,404個、訓練時間は1秒、訓練誤差は0.0125、テスト誤差は0.0229。
塑性問題の訓練誤差は0.0071、テスト誤差は0.0074。
空気力学問題では、Geo-FNOがCPU版の陰解法数値解法に比べて105倍高速で、2倍精度が高い。