本論文では、点群データ(X, dX)の双対グレード持続ホモロジーモジュールとバーコードを定義し、その安定性を示した。
まず、単純複体Kの双対グレードホモロジーH−i,2j(ZK)を導入した。これは、K の部分複体の簡約ホモロジーの直和で表される。
次に、点群データ(X, dX)のVietoris-Rips複体R(X, t)の双対グレードホモロジーを用いて、双対グレード持続ホモロジーモジュールPHZ(X)とPHHZ(X)を定義した。
PHZ(X)は、R(X, t)の双対グレードホモロジーの変化を追跡するモジュールである。一方、PHHZ(X)は、R(X, t)の双対ホモロジーの変化を追跡するモジュールである。
本論文の主結果は、PHHZ(X)が点群データの変化に対して安定であることを示したことである。具体的には、Gromov-Hausdorff距離に関する安定性定理(定理4.20)と、双対ホモロジーの不変性に基づく安定性定理(定理4.22)を証明した。
これにより、双対グレード持続ホモロジーバーコードは、点群データの局所構造を捉えるのに有効であることが示された。
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by Anthony Bahr... في arxiv.org 03-29-2024
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