المفاهيم الأساسية
任意の数のスイッチと電球が与えられ、各スイッチが対応する電球といくつかの他の電球を切り替える場合、スイッチの動作に関係なく点灯できる電球の数の厳密な下限を計算します。
الملخص
この論文は、n個のスイッチとn個の電球があり、i番目のスイッチがi番目の電球といくつかの他の電球を切り替える場合に、スイッチの動作に関係なく点灯できる電球の数の厳密な下限を計算するという問題を扱っています。
論文では、この問題をF2上のベクトルと行列を用いて定式化し、µ(n, m)という関数を導入しています。µ(n, m)は、各電球に専用のスイッチがあり、各スイッチが最大でm-1個の他の電球も切り替える場合に、n個の電球のうち常に点灯できる電球の最小数を表しています。
論文では、mが2または3の場合のµ(n, m)の公式を導出し、mが4または5の場合のµ(n, m)の公式も導出しています。さらに、mが任意の数の場合のµ(n, m)の漸近的な下限も示しています。
この論文の主な結果は、スイッチの動作に関係なく点灯できる電球の数が、スイッチが切り替える電球の数に依存することです。具体的には、各スイッチが最大でm-1個の他の電球も切り替える場合、点灯できる電球の数は少なくともn/2であり、この下限はmが大きくなるにつれて大きくなります。
الإحصائيات
µ(n, 2) = 2n/3
µ(n, 3) = µ(n, 2)
µ(n, 4) = 4n/7 (n が 7k-2 の形でない場合)
µ(n, 4) = 4n/7 + 1 = 4k (n が 7k-2 の形の場合)
µ(n, 5) = µ(n, 4)
lim_{n→∞} µ(n)/n = 1/2