Die Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes aus algebraisch-geometrischen Codes

المفاهيم الأساسية

Die Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes, die aus algebraisch-geometrischen Codes definiert sind, werden bestimmt. Für einen algebraisch-geometrischen Code C, dessen Dual CL(D, H) ist, wird gezeigt, dass die Dimension der Hülle des Konorms von C mit der Dimension der Hülle von C zusammenhängt, wenn der größte gemeinsame Teiler von G und H nicht-speziell ist.

الملخص

Der Artikel befasst sich mit der Bestimmung der Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes, die aus algebraisch-geometrischen Codes definiert sind.
Zunächst werden einige Grundlagen zu algebraischen Funktionenkörpern und algebraisch-geometrischen Codes eingeführt, insbesondere die Konzepte des Konorms und der Hülle eines linearen Codes.
Für den Fall einer unverzvveigten endlichen separablen Erweiterung F'/Fq von einem algebraischen Funktionenkörper F/Fq wird gezeigt, dass die Dimension der Hülle des Konorms C' eines algebraisch-geometrischen Codes C mindestens m-mal so groß ist wie die Dimension der Hülle von C, wobei m der Grad der Erweiterung ist. Wenn der Grad des größten gemeinsamen Teilers von G und H größer als 2g-2 ist, dann ist die Dimension der Hülle von C' sogar genau m-mal so groß wie die Dimension der Hülle von C.
Für den Fall einer verzweigten separablen Erweiterung F'/Fq wird eine untere Schranke für die Dimension der Hülle von C' angegeben, die von der Differente der Erweiterung abhängt. Wenn der Grad des größten gemeinsamen Teilers von G und H größer als 2g-2 plus einem Term, der von der Differente abhängt, ist, dann wird die exakte Dimension der Hülle von C' bestimmt.
Abschließend werden einige Beispiele für die Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes algebraisch-geometrischer Codes über speziellen Funktionenkörpern, wie elliptischen, hyperelliptischen und hermiteschen Funktionenkörpern, angegeben.

الإحصائيات

Die Dimension der Hülle des Konorms C' eines algebraisch-geometrischen Codes C über einer unverzvveigten Erweiterung F'/Fq erfüllt:
hpC'q ≥ m·hpCq
Wenn der Grad des größten gemeinsamen Teilers von G und H größer als 2g-2 ist, dann gilt:
hpC'q = m·hpCq
Für eine verzweigte separable Erweiterung F'/Fq gilt:
hpC'q ≥ m/t·hpCq - 1/2·deg(Diff(F'/F))
Wenn der Grad des größten gemeinsamen Teilers von G und H größer als 2g-2 + t/m·deg(Diff(F'/F)) ist, dann gilt:
hpC'q = m/t·hpCq - 1/2·deg(Diff(F'/F))

اقتباسات

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الرؤى الأساسية المستخلصة من

The Dimensions of the Hulls of Conorm Codes from Algebraic Geometry Codes

by Junmin An,Jo... في arxiv.org 03-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.18231.pdf

استفسارات أعمق

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Die Ergebnisse können auf den Fall verallgemeinert werden, dass der größte gemeinsame Teiler von G und H speziell ist, indem man die speziellen Eigenschaften des speziellen ggT berücksichtigt. Wenn der ggT speziell ist, bedeutet dies, dass er bestimmte Charakteristiken aufweist, die in den Berechnungen der Hüllendimension berücksichtigt werden müssen. Insbesondere kann die Spezialität des ggT Auswirkungen auf die Riemann-Roch-Räume und die Indexeigenschaften haben, die die Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes beeinflussen können. Durch die Berücksichtigung dieser speziellen Eigenschaften kann eine genauere Bestimmung der Hüllendimension erfolgen, selbst wenn der ggT speziell ist.

Welche Auswirkungen haben andere Eigenschaften der Erweiterung F'/F, wie z.B. die Galois-Eigenschaft oder die Art der Verzweigung, auf die Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes

Andere Eigenschaften der Erweiterung F'/F, wie die Galois-Eigenschaft oder die Art der Verzweigung, können signifikante Auswirkungen auf die Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes haben. Bei einer Galois-Erweiterung können zusätzliche algebraische Strukturen und Symmetrien auftreten, die die Berechnung der Hüllendimension beeinflussen. Die Art der Verzweigung, ob tam oder wild, kann die Komplexität der Berechnungen erhöhen und spezifische Anpassungen erfordern, um die Hüllendimension korrekt zu bestimmen. Diese zusätzlichen Eigenschaften der Erweiterung können daher wichtige Faktoren sein, die bei der Analyse von Konorm-Codes berücksichtigt werden müssen.

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Die Ergebnisse zu den Hüllen von Konorm-Codes können in verschiedenen Bereichen der Codierungstheorie und Kryptographie vielfältige Anwendungen und Implikationen haben. In der Codierungstheorie können die genauen Dimensionen der Hüllen von Konorm-Codes bei der Konstruktion effizienter Codes und bei der Analyse ihrer Fehlerkorrekturfähigkeiten entscheidend sein. In der Kryptographie können die Hüllen von Konorm-Codes bei der Entwicklung sicherer Verschlüsselungs- und Authentifizierungsprotokolle eine Rolle spielen, da sie die Komplexität und Sicherheit von Codes beeinflussen. Darüber hinaus können die Ergebnisse zu den Hüllen von Konorm-Codes auch in der algebraischen Geometrie und verwandten mathematischen Gebieten von Interesse sein, da sie Einblicke in die Struktur und Eigenschaften von Codes auf algebraischen Kurven bieten.