自啟動 CUSUM 控制圖在位置偏移下的比較研究：貝葉斯預測比率 CUSUM 與頻率論方法

المفاهيم الأساسية

本文通過模擬研究比較了兩種用於檢測正態數據均值偏移的自啟動 CUSUM 控制圖（貝葉斯預測比率 CUSUM 和頻率論自啟動 CUSUM）的性能，發現兩種方法在性能上總體相似，但貝葉斯方法在信息先驗的情況下表現更佳。

الملخص

本研究論文比較了兩種用於檢測正態數據均值偏移的自啟動控制圖：貝葉斯預測比率 CUSUM (PRC) 和頻率論自啟動 CUSUM (SSC)。作者通過廣泛的模擬研究，在不同大小的均值偏移和不同變更點位置的情況下，評估了這兩種方法的條件期望延遲 (CED) 性能。
研究背景
統計過程控制與監控 (SPC/M) 旨在實時檢測正在進行的過程中存在的異常現象。傳統的 SPC/M 方法通常涉及兩個階段：階段 I（校準階段）和階段 II（測試階段）。然而，階段 I/II 分離存在一些限制，例如階段 I 估計的估計誤差會對階段 II 的性能產生負面影響。自啟動方法旨在通過無需校準階段 (階段 I) 來減輕與階段 I/II 分離相關的問題。這些方法可以從過程開始就進行測試，同時估計未知參數。
研究方法
作者比較了兩種常用的單變量數據自啟動參數方法：頻率論自啟動 CUSUM (SSC) 和貝葉斯預測比率 CUSUM (PRC)，用於檢測正態數據中持續的均值偏移。他們使用模擬研究來評估這兩種方法在不同偏移大小 (δ = 0.5, 1, 1.5, 2) 和不同變更點位置 (τ = 11, 21, ..., 101) 下的 CED 性能。此外，作者還通過設置兩個先驗（非信息性參考先驗和弱信息性先驗）對 PRC 進行了先驗敏感性分析。
研究結果
模擬研究結果表明，兩種方法都能夠有效地檢測均值偏移，並且隨著偏移大小的增加和變更點位置的延後，檢測性能都會提高。貝葉斯方法 (PRC) 在信息先驗的情況下表現更佳，尤其是在過程開始時只有少量數據點可用的情況下。當變更點位置延後且 IC 數據量增加時，PRCi 的性能會與 PRCn 和 SSC 收斂。PRCn 和 SSC 在總體上表現出相似的性能，但在某些情況下存在細微差異。SSC 在設計參數 k 值較小的情況下略有優勢，而 PRC 在 k 值較大的情況下表現更好。
研究結論
作者總結了研究結果，並得出結論：PRC 和 SSC 都是有效的自啟動控制圖方法，可用於檢測正態數據中的均值偏移。貝葉斯方法 (PRC) 在信息先驗的情況下具有優勢，而 SSC 在計算上更簡單。研究結果為實踐者選擇合適的自啟動控制圖方法提供了指導。

الإحصائيات

控制上限 hSSC 和 hPRC 被設定為實現 370 的平均運行長度 (ARL0)。
研究中考慮了四種偏移大小：δ = 0.5、1、1.5 或 2。
變更點 τ 出現在數據序列的不同位置，從 11 到 101 不等。
對於 SSC，設計參數 kSSC 的值設定為 0.25、0.375 或 0.5。
對於 PRC，設計參數 kPRC 的值設定為 0.5、0.75 或 1。
弱信息性先驗設定為 NIG(0,4,2,1.5)，表示與來自 IC 分佈的四個觀測值具有相同的信息權重。

الرؤى الأساسية المستخلصة من

A comparative study of self-starting CUSUM control charts for location shifts

by Konstantinos... في arxiv.org 10-17-2024

https://arxiv.org/pdf/2410.12736.pdf

استفسارات أعمق

除了 CUSUM 控制圖之外，還有哪些其他自啟動方法可用於檢測正態數據中的均值偏移？它們與本文中討論的方法相比如何？

除了 CUSUM 控制圖，還有其他幾種自啟動方法可用於檢測正態數據中的均值偏移，包括：

基於指數加權移動平均 (EWMA) 的方法： 這些方法使用指數加權移動平均值來追蹤過程均值的變化。與 CUSUM 相比，EWMA 方法對小偏移更敏感，但對大偏移的反應速度較慢。貝葉斯 EWMA 方法（如 Tsiamyrtzis 和 Hawkins，2008）提供了一種將先驗信息納入 EWMA 控制圖的靈活方法。
基於變點檢測的方法： 這些方法旨在識別數據序列中均值發生變化的點。線上變點檢測方法（如 Adams 和 MacKay，2007）可以追蹤過程均值並在檢測到變點時發出警報。這些方法對於檢測過程均值發生突然變化的情況特別有用。
基於預測分佈的方法： 這些方法使用數據的預測分佈來監控過程均值。貝葉斯預測控制圖（如 Bourazas 等人，2022）基於後驗預測分佈，並允許在沒有階段 I 數據的情況下進行線上監控。
與本文討論的 CUSUM 方法相比，這些方法各有優缺點。最佳方法取決於特定的應用程序和數據特徵。例如，如果預計偏移量較小，則 EWMA 方法可能比 CUSUM 方法更合適。如果數據中存在自相關，則基於變點檢測的方法可能更有效。

本文假設數據服從正態分佈。如果這個假設不成立，那麼這些方法的性能會受到什麼影響？是否存在適用於非正態數據的自啟動控制圖方法？

如果數據不符合正態分佈的假設，則本文中討論的方法的性能可能會受到影響。具體來說，這些方法的 IC ARL 和 CED 性能可能會偏離預期值，從而導致錯誤警報或檢測延遲。
幸運的是，存在適用於非正態數據的自啟動控制圖方法。這些方法包括：

非參數方法： 這些方法不對數據的分佈做出任何假設。例如，基於秩的 CUSUM 控制圖（Hawkins 和 Olwell，1998）使用數據的秩而不是原始值，使其對非正態數據具有魯棒性。
轉換方法： 這些方法涉及在應用參數控制圖方法之前將非正態數據轉換為正態數據。例如，Box-Cox 轉換可用於將偏態數據轉換為更接近正態分佈的數據。
基於廣義線性模型 (GLM) 的方法： 這些方法可以處理各種數據分佈，包括二項式、泊松和伽瑪分佈。例如，Quesenberry (1991) 提出了用於二項式和泊松數據的自啟動 Q 控制圖。
選擇適用於非正態數據的自啟動控制圖方法取決於數據的特定分佈和應用程序的要求。

自啟動控制圖方法如何應用於多元數據分析？在處理高維數據時會遇到哪些挑戰？

自啟動控制圖方法可以通過監控多元數據的統計量來應用於多元數據分析，例如：

T² 統計量： 該統計量測量每個時間點觀測向量與目標向量之間的距離。
廣義方差 |Λ|： 該統計量測量多元數據的總變異。
主成分分析 (PCA)： PCA 可用於將高維數據簡化為低維數據，然後可以使用單變量或多元控制圖方法監控主成分。
然而，在處理高維數據時，自啟動控制圖方法會遇到以下挑戰：

維度災難： 隨著維度的增加，數據變得越來越稀疏，這使得難以檢測到偏移。
解釋性： 解釋多元控制圖可能很困難，尤其是在高維數據中。
計算複雜性： 一些多元控制圖方法的計算成本很高，尤其是在處理大型數據集時。
為了解決這些挑戰，已經提出了各種方法，例如：

變量選擇： 僅監控對過程變異貢獻最大的變量。
降維： 使用 PCA 或其他降維技術來減少數據的維度。
稀疏控制圖： 開發專門用於處理高維數據的控制圖方法。
總之，自啟動控制圖方法為監控正態和非正態數據提供了一個有價值的工具。然而，在將這些方法應用於多元數據分析時，必須仔細考慮數據的特徵和應用程序的要求，以選擇最合適的方法並解決高維數據帶來的挑戰。