Conceitos Básicos
本文闡述了如何利用多延遲離散延遲微分方程式精確地模擬具有分佈延遲的模型,並探討了分佈延遲微分方程式與多延遲離散延遲微分方程式之間的數值等價性。
Resumo
分佈延遲微分方程式的數值模擬
本文旨在探討如何使用多延遲離散延遲微分方程式 (DDE) 來精確模擬具有分佈延遲的模型。傳統上,這類分佈延遲微分方程式通常透過將分佈延遲離散化並使用現有工具來模擬所得的多延遲 DDE,或者在對延遲過程進行額外假設的情況下使用等效表示來進行模擬。
本文採用函數連續龍格庫塔法 (FCRK) 的現有框架,證實了這種常用方法的收斂性。分析結果表明,數值方法的精度主要受限於其中最不精確的方法。
文中舉例說明預測的收斂性,並推導出分佈延遲和離散延遲微分方程式之間的一類新的等價關係,並給出了分佈延遲微分方程式中斷點存在的條件。
最後,本文的研究表明,最近報導的多延遲複雜性坍縮是如何從具有多個離散延遲的方程式收斂到具有分佈延遲的方程式自然產生的,從而提供了對 Mackey-Glass 方程式動力學的洞察力。
主要內容:
- 介紹了函數連續龍格庫塔法 (FCRK) 並建立了用於具有緊湊支持的分佈 DDE 的一致 FCRK。
- 闡述了如何透過適當精確的正交規則將卷積積分離散化,從而將分佈 DDE 轉換為數值等效的多延遲離散 DDE。
- 證明了 FCRK 方法的全局誤差階數由正交規則的階數和 FCRK 方法本身的階數中的較小者決定。
- 透過一系列數值算例驗證了理論結果,並使用 Matlab 內建的 DDE 求解器 ddesd 對具有不同分佈核的線性和非線性測試問題進行了模擬。
- 探討了分佈 DDE 中斷點的存在性,並給出了確保斷點不會隨時間推移而傳播的條件。
- 應用所提出的數值框架來解釋 Mackey-Glass 方程式中觀察到的多延遲複雜性坍縮現象,表明這種現象可以理解為多延遲離散 DDE 收斂到具有緊湊支持的分佈 DDE 的結果。
總之,本文為具有緊湊支持的分佈 DDE 的數值模擬提供了一個嚴謹的框架,並建立了分佈延遲和離散延遲 DDE 之間的數值等價性。
Citações
"These compactly supported distributed DDEs are generically given by..."
"Therefore, we develop a numerical method for the simulation of Eq. (1.1) based on existing functional continuous Runge-Kutta (FCRK) methods."
"Tavakoli and Longtin [29] observed that, for a number of prototypical DDEs, including the Lang-Kobayashi and Mackey-Glass equations, increasing the number of delays increases dynamical complexity until dynamics suddenly simplify."