Conceitos Básicos
모든 폐곡선 엄밀 볼록 표면은 최소 두 개의 엄밀점을 가진다.
Resumo
이 논문은 카라테오도리 추측을 증명한다. 추측의 핵심은 모든 폐곡선 엄밀 볼록 표면이 최소 두 개의 엄밀점을 가진다는 것이다.
논문은 먼저 이 추측을 유클리드 3차원 공간의 표면에서 유클리드 3차원 공간의 방향 측지선 공간인 T S2에서의 라그랑지안 단면으로 재정식화한다. 이를 통해 추측이 T S2의 복소점이 최소 두 개 있는 폐곡선 라그랑지안 단면이 존재하지 않는다는 것과 동치임을 보인다.
이를 증명하기 위해 저자들은 다음과 같은 전략을 사용한다. 만약 오직 하나의 복소점을 가진 C2+α 라그랑지안 단면이 존재한다면, 이는 바나흐 다양체의 열린 부분집합에 포함된다. 이 부분집합에서 코시-리만 연산자의 전단사성은 경계 곡선의 켈러-마슬로프 지수에 의해 결정되는 해로픽 디스크의 차원을 제공한다.
저자들이 도입한 중립 기하학에 따르면, 켈러-마슬로프 지수는 경계 곡선이 감싸는 영역의 복소점 개수와 일치한다. 따라서 복소점이 하나만 있는 C2+α 라그랑지안 단면 근처의 C2+α 라그랑지안 경계 표면에서는 해로픽 디스크를 가질 수 없다.
한편 이러한 경계 표면 근처에는 완전 실 라그랑지안 반구가 존재한다. 따라서 추측이 거짓이라면 어떤 해로픽 디스크의 경계도 될 수 없는 완전 실 라그랑지안 반구가 존재해야 한다.
그러나 저자들은 임의의 C2+α 완전 실 라그랑지안 반구에 해로픽 디스크를 부착할 수 있음을 보인다. 이는 오직 하나의 복소점을 가진 C2+α 라그랑지안 단면이 존재할 수 없음을 의미한다.
따라서 저자들은 C3+α 엄밀 볼록 표면에 오직 하나의 엄밀점만 존재할 수 없음을 증명한다.
Estatísticas
모든 폐곡선 엄밀 볼록 표면은 최소 두 개의 엄밀점을 가진다.
엄밀점은 표면의 제2기본형식이 중복 고유값을 가지는 점이다.
엄밀점은 표면의 엽층 특이점이다.
이 증명은 C3+α 엄밀 볼록 표면에 대해 성립한다.
Citações
"모든 폐곡선 엄밀 볼록 표면은 최소 두 개의 엄밀점을 가진다."
"만약 오직 하나의 복소점을 가진 C2+α 라그랑지안 단면이 존재한다면, 이는 바나흐 다양체의 열린 부분집합에 포함된다."
"켈러-마슬로프 지수는 경계 곡선이 감싸는 영역의 복소점 개수와 일치한다."