Conceitos Básicos
Die Arbeit untersucht die Auswirkungen von zufälligen, räumlich heterogenen Effekten auf die Bifurkationen der Allen-Cahn-Gleichung. Es wird gezeigt, dass der Erwartungswert des zufälligen Koeffizienten als Bifurkationsparameter fungiert und die Bifurkationspunkte sowie Bifurkationskurven zu zufälligen Objekten werden.
Resumo
Die Arbeit betrachtet die Allen-Cahn-Gleichung, ein prototypisches Modell in der nichtlinearen Dynamik, das Bifurkationen in Abhängigkeit eines deterministischen Bifurkationsparameters aufweist. Im Gegensatz zum klassischen deterministischen Fall führt die Autoren einen zufälligen Koeffizienten in den linearen Reaktionsteil der Gleichung ein, um zufällige, räumlich heterogene Effekte zu berücksichtigen.
Es wird gezeigt, dass der Erwartungswert des zufälligen Koeffizienten tatsächlich ein Bifurkationsparameter in der Allen-Cahn-Gleichung mit zufälligen Koeffizienten ist. Darüber hinaus werden die Bifurkationspunkte und Bifurkationskurven zu zufälligen Objekten.
Für den Fall eines räumlich homogenen Koeffizienten werden analytische Ausdrücke für die Verteilung der Bifurkationspunkte hergeleitet und gezeigt, dass die Bifurkationskurven zufällige Verschiebungen einer festen Referenzkurve sind. Für den Fall eines räumlich heterogenen Koeffizienten wird eine verallgemeinerte Polynomchaos-Entwicklung verwendet, um die statistischen Eigenschaften der zufälligen Bifurkationspunkte und Bifurkationskurven zu approximieren.
Die Arbeit kombiniert analytische und numerische Methoden aus den Bereichen der Dynamischen Systeme und der Unsicherheitsquantifizierung, um die Herausforderungen der Unsicherheitsquantifizierung von Bifurkationen in zufälligen Differentialgleichungen zu adressieren.
Estatísticas
Die Bifurkationspunkte p*_i(y) sind Realisierungen einer Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ_p*_i(y) = ρ_g(-λ_i - g(y)), wobei ρ_g die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen g(Y) ist.
Citações
"Die Bifurkationspunkte und Bifurkationskurven werden zu zufälligen Objekten."
"Der Erwartungswert p des zufälligen Feldes q kann als Bifurkationsparameter für die Allen-Cahn-Gleichung mit zufälligen Koeffizienten interpretiert werden."