Optimierung der geschachtelten stochastischen Komposition über Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Conceitos Básicos

Dieser Artikel präsentiert einen Riemannschen stochastischen Kompositionsgradienten-Abstiegsalgorithmus (R-SCGD), um Optimierungsprobleme mit geschachtelter stochastischer Komposition über Riemannsche Mannigfaltigkeiten zu lösen. Der Algorithmus approximiert den Wert der inneren Funktion(en) unter Verwendung eines gleitenden Durchschnitts, der durch Informationen erster Ordnung korrigiert wird, und seine Parameter befinden sich in derselben Zeitskala wie die Schrittweite der Variablenaktualisierung. Es wird gezeigt, dass der Algorithmus eine Komplexität von O(1/ε^2) aufweist, um eine ε-approximative stationäre Lösung zu erhalten.

Resumo

Der Artikel befasst sich mit der Optimierung der Komposition von Funktionen in geschachtelter Form über Riemannsche Mannigfaltigkeiten, wobei jede Funktion eine Erwartung enthält. Solche Probleme gewinnen in Anwendungen wie der Politikevaluierung im Reinforcement Learning oder der Modellkustomisierung im Meta-Learning an Popularität.
Die standardmäßigen Riemannschen stochastischen Gradientenverfahren für nicht-kompositorische Optimierung können nicht direkt angewendet werden, da die stochastische Approximation der inneren Funktionen Verzerrungen in den Gradienten der äußeren Funktionen erzeugt.
Für die Optimierung der zweistufigen Komposition präsentiert der Artikel einen Riemannschen stochastischen Kompositionsgradienten-Abstiegsalgorithmus (R-SCGD), der einen approximativen stationären Punkt mit einem erwarteten quadrierten Riemannschen Gradienten kleiner als ε in O(1/ε^2) Aufrufen des stochastischen Gradientenorakels der äußeren Funktion und der stochastischen Funktions- und Gradientenorakel der inneren Funktion findet.
Der Artikel verallgemeinert den R-SCGD-Algorithmus auch für Probleme mit mehrstufigen geschachtelten Kompositionsstrukturen, wobei die gleiche Komplexität von O(1/ε^2) für das stochastische Orakel erster Ordnung gilt.
Schließlich wird die Leistung des R-SCGD-Verfahrens numerisch anhand eines Politikevaluierungsproblems im Reinforcement Learning evaluiert.

Estatísticas

Es gibt keine spezifischen Statistiken oder Zahlen, die im Artikel extrahiert werden können.

Citações

Es gibt keine hervorstechenden Zitate, die den Schlüssellogiken des Autors unterstützen.

Principais Insights Extraídos De

Riemannian Stochastic Gradient Method for Nested Composition Optimization

by Dewei Zhang,... às arxiv.org 03-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2207.09350.pdf

Perguntas Mais Profundas

Wie könnte der R-SCGD-Algorithmus für Probleme mit nicht-glatten Komponenten in der Komposition erweitert werden?

Um den R-SCGD-Algorithmus für Probleme mit nicht-glatten Komponenten in der Komposition zu erweitern, könnte man Techniken zur Bewältigung von Nonglattheiten in den Funktionen einführen. Dies könnte beispielsweise durch die Verwendung von Subgradienten oder anderen Ableitungen für nicht-differenzierbare Stellen in den Funktionen erfolgen. Darüber hinaus könnte man Techniken wie Regularisierung oder Approximationen verwenden, um die nicht-glatten Komponenten zu behandeln. Eine sorgfältige Analyse der Konvergenzeigenschaften und der Stabilität des Algorithmus bei nicht-glatten Komponenten wäre ebenfalls erforderlich, um sicherzustellen, dass der erweiterte Algorithmus korrekt funktioniert.

Welche zusätzlichen Annahmen oder Bedingungen müssten erfüllt sein, damit der R-SCGD-Algorithmus eine lineare Konvergenzrate erreichen kann?

Um sicherzustellen, dass der R-SCGD-Algorithmus eine lineare Konvergenzrate erreichen kann, müssen zusätzliche Annahmen oder Bedingungen erfüllt sein. Zunächst müssen die Funktionen, die in der Komposition verwendet werden, bestimmte Glätte- und Konvexitätseigenschaften aufweisen. Insbesondere müssen die Funktionen geodesisch glatt sein, um die Konvergenzrate zu gewährleisten. Darüber hinaus müssen die Stichprobenorakel für die Funktionen korrekt und unverzerrt sein, um die Konvergenz zu unterstützen. Die Wahl geeigneter Schrittweiten und Parameter für den Algorithmus ist ebenfalls entscheidend, um die lineare Konvergenzrate sicherzustellen.

Wie könnte der R-SCGD-Algorithmus für Probleme mit mehrstufiger Komposition über verschiedene Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden?

Um den R-SCGD-Algorithmus für Probleme mit mehrstufiger Komposition über verschiedene Riemannsche Mannigfaltigkeiten zu verallgemeinern, könnte man den Algorithmus so erweitern, dass er die verschiedenen Mannigfaltigkeiten und ihre jeweiligen Metriken berücksichtigt. Dies würde die Berücksichtigung von Parallelverschiebungen, Retraktionen und anderen Operationen auf den Mannigfaltigkeiten erfordern. Darüber hinaus müssten die Gradienten- und Ableitungsoperationen entsprechend angepasst werden, um die Geometrie der Mannigfaltigkeiten zu respektieren. Die Konvergenzeigenschaften des Algorithmus müssten sorgfältig analysiert werden, um sicherzustellen, dass er für mehrstufige Kompositionsprobleme über verschiedene Riemannsche Mannigfaltigkeiten korrekt funktioniert.