Konstruktion von Quantencodes aus (γ, Δ)-zyklischen Codes

Conceitos Básicos

In dieser Arbeit zeigen wir, dass ein (γ, Δ)-zyklischer Code der Länge n über Rq,s die direkte Summe von (θ, ℑ)-zyklischen Codes der Länge n über Fq ist, wobei θ ein Automorphismus von Fq und ℑ eine θ-Ableitung von Fq ist. Außerdem werden notwendige und hinreichende Bedingungen sowohl für (γ, Δ)-zyklische als auch für (θ, ℑ)-zyklische Codes abgeleitet, damit diese ihre euklidischen Duale enthalten. Schließlich erhalten wir viele Quantencodes, indem wir das Dual-Enthaltens-Kriterium auf die Gray-Bilder dieser Codes anwenden. Die erhaltenen Codes haben bessere Parameter als die in der Literatur verfügbaren.

Resumo

Die Arbeit befasst sich mit der Konstruktion von Quantencodes aus (γ, Δ)-zyklischen Codes.

Zunächst werden die grundlegenden Eigenschaften von (θ, ℑ)-zyklischen Codes über Fq untersucht. Es wird ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür abgeleitet, dass diese Codes ihre euklidischen Duale enthalten.

Anschließend werden die algebraischen Eigenschaften von (γ, Δ)-zyklischen Codes über Rq,s über eine Zerlegung in (θ, ℑ)-zyklische Codes über Fq diskutiert. Es wird gezeigt, dass ein (γ, Δ)-zyklischer Code der Länge n über Rq,s die direkte Summe von (θ, ℑ)-zyklischen Codes der Länge n über Fq ist. Außerdem werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür abgeleitet, dass sowohl (γ, Δ)-zyklische als auch (θ, ℑ)-zyklische Codes ihre Duale enthalten.

Schließlich werden viele neue Quantencodes mit besseren Parametern konstruiert, indem das Dual-Enthaltens-Kriterium auf die Gray-Bilder der erhaltenen (γ, Δ)-zyklischen Codes angewendet wird.

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Principais Insights Extraídos De

Construction of quantum codes from $(γ,Δ)$-cyclic codes

by Om Prakash,S... às arxiv.org 04-03-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.01904.pdf

Perguntas Mais Profundas

Wie können die Ergebnisse dieser Arbeit auf andere Arten von nichtkommutativen Ringen erweitert werden, um weitere Quantencodes zu konstruieren?

Die Ergebnisse dieser Arbeit, insbesondere die Konstruktion von Quantencodes aus (γ, ∆)-zyklischen Codes über Rq,s, können auf andere Arten von nichtkommutativen Ringen erweitert werden, indem ähnliche Konzepte auf diese neuen Strukturen angewendet werden. Zum Beispiel könnten Skew-Polynomringe mit verschiedenen Automorphismen und Derivationen untersucht werden, um zu sehen, wie sich dies auf die Konstruktion von Quantencodes auswirkt. Durch die Anpassung der entwickelten Techniken an die spezifischen Eigenschaften dieser neuen Ringe können weitere Quantencodes mit verbesserten Parametern konstruiert werden.

Welche Auswirkungen haben die Eigenschaften der Ringe Rq,s, wie z.B. die Existenz mehrerer maximaler Ideale, auf die Konstruktion von Quantencodes?

Die Eigenschaften der Ringe Rq,s, wie die Existenz mehrerer maximaler Ideale, können sich auf die Konstruktion von Quantencodes auswirken, indem sie die Struktur und die algebraischen Operationen beeinflussen, die bei der Kodierung und Decodierung von Informationen verwendet werden. Die Existenz mehrerer maximaler Ideale in Rq,s kann zu einer Vielzahl von Faktoren führen, die bei der Konstruktion von Quantencodes berücksichtigt werden müssen. Diese Eigenschaften können die Komplexität der Codes erhöhen oder spezielle Anforderungen an die Fehlerkorrekturmechanismen stellen, um die Integrität der übertragenen Quanteninformation zu gewährleisten.

Wie können die in dieser Arbeit entwickelten Techniken zur Konstruktion von Quantencodes auf andere Anwendungsgebiete wie klassische Fehlerkorrekturcodes übertragen werden?

Die in dieser Arbeit entwickelten Techniken zur Konstruktion von Quantencodes können auf andere Anwendungsgebiete wie klassische Fehlerkorrekturcodes übertragen werden, indem sie auf ähnliche mathematische Strukturen und Konzepte angewendet werden. Zum Beispiel könnten die Methoden zur Konstruktion von (γ, ∆)-zyklischen Codes auf die Entwicklung von verbesserten klassischen zyklischen Fehlerkorrekturcodes angewendet werden. Durch die Anpassung der entwickelten Techniken an die Anforderungen und Eigenschaften klassischer Fehlerkorrekturcodes können effizientere und leistungsfähigere Codes erstellt werden.