Kernekoncepter
次数dの複素多項式の空間は、その臨界値が特定の領域(区間、円、長方形、円環)内にある場合、有限個の区分線形ユークリッドセル複体として表現できます。これらの複体は、非交差分割格子や双対ブレイド複体などの組合せ論的構造と密接に関連しており、多項式の空間の位相的、幾何学的特性を理解するための強力な枠組みを提供します。
本論文は、次数dの複素多項式の空間を、その臨界値がある特定の領域内にある場合に、有限個の区分線形ユークリッドセル複体として表現できることを示しています。具体的には、臨界値が閉区間、円、閉長方形、閉円環領域内にある場合の4つのケースについて、それぞれに対応するセル複体の構造を詳細に解析しています。
区間の場合
臨界値が閉区間内にある次数dの多項式の空間は、非交差分割格子NCPartdのオーダー複体|NCPartd|Δと等長同型になります。この複体の頂点は、Martin、Savitt、Singerによって研究された組合せ論的オブジェクトである「バスケットボール」によってインデックス付けられます。
円の場合
臨界値が円内にある次数dの多項式の空間は、区間の場合の複体を等長的な面識別によって商として構成できます。この複体は、ブレイド群の双対ガルサイド構造から導出される分類空間である双対ブレイド複体Kdと同一視できます。
長方形の場合
臨界値が閉長方形内にある次数dの多項式の空間は、2つの非交差分割格子のオーダー複体の直積の部分複体として表現できます。この複体の頂点は、Fuss-Catalan数によって列挙され、「バスケットボール」によってラベル付けられます。
円環の場合
臨界値が閉円環内にある次数dの多項式の空間は、長方形の場合の複体を面識別によって商として構成できます。
これらのセル複体の構造は、多項式の空間の位相的、幾何学的特性を理解するための強力な枠組みを提供します。例えば、円の場合の複体が双対ブレイド複体と同一視されることは、ブレイド群の研究における重要な進展です。