Kernekoncepter
本文探討了非奇異實代數簇上的局部有界有理函數的幾何性質,建立了這些函數與半代數弧、奇點解消和洛亞iewicz 不等式之間的關係。
本文探討了非奇異實代數簇上的局部有界有理函數的幾何性質。首先,建立了關於這些函數的各種基本幾何和代數結果,並推導出洛亞iewicz 不等式的一個版本。接著,針對二維情況,進一步發展了這些函數的幾何學,證明了這些函數的代數和幾何之間存在許多通常的對應關係,這些對應關係與複代數幾何以及實代數幾何中的其他函數類別(如規則函數)所期望的相符。
本文發展了實代數簇上局部有界有理函數的幾何學。如果 R 是一個實封閉域,而 X ⊆ Rn 是一個不可約的非奇異代數簇,則定義在 X 的 Zariski 稠密子集上的有理函數 f 如果在 X 的每個點的某個開鄰域中其值都有界,則稱其為局部有界。這些函數已經在文獻中以實全純環的形式被研究過(參見 [1, 3, 8, 10, 15, 16, 14]),儘管是從完全代數的角度進行的。局部有界有理函數也出現在 [12] 中的弧亞純函數的解析背景下。
局部有界有理函數在幾何背景下自然出現。例如,給定奇異實代數簇的正規化上的正則函數是局部有界的。在複數情況下,正規簇上的此類函數自動是正則的(根據 Hartogs 延拓定理 [13, C 1.11]),然而,在處理實代數簇時,此類函數要多得多,一個典型的例子是 R2 上的函數 (x, y) 7→ x2/(x2+y2)。如果將局部有界條件替換為連續性,則得到連續有理函數類,如果其定義域是非奇異代數簇,則稱為規則函數(參見 [7, 9])。本文旨在研究非奇異實代數簇上的局部有界有理函數環,同時強調它們與規則函數的異同。重要的是要注意,研究局部有界有理函數在奇異實代數簇上的行為仍然是未來工作的課題,並且不在本文的討論範圍之內。
局部有界有理函數可以用三種等效的方式來刻畫(命題 3.5、3.7 和 3.8):(1) 將 X 中的每條半代數連續弧映射到 R 中的有界集的有理函數;(2) 經過一系列以 X 上的光滑中心進行爆破後,可以使其成為取值於 R 的正則函數的有理函數;(3) 將 X 的每個閉有界子集与其定義域的交集映射到 R 的有界子集的有理函數。事實上,利用 Hironaka [6] 的結果,有界有理函數環與經過一系列以光滑中心進行爆破後可以使其成為取值於 R 的正則函數的有理函數環完全相同。此外,不可約非奇異代數簇 X 上的局部有界有理函數環是非諾特環(命題 3.20),其 Krull 維數等於底層簇的維數(定理 3.24)。最後一個結果是對該環的 Krull 維數先前估計的改進,[1] 中僅僅證明了它小於或等於底層簇的維數。
作為有界性的結果,不可約光滑代數簇 X 上的局部有界有理函數的不確定軌跡的餘維數至少為 2(定理 3.13)。這與例如 [4] 中研究的規則函數類似。然而,與這些函數的情況不同,為了定義有界有理函數的零點集,必須藉助於弧的極限或通過一系列爆破對其正則化的圖像。這導致由這些集合定義的非諾特拓撲(參見例 4.17),它比與有理連續函數相關聯的拓撲更精細(參見例 4.9 和 4.10)。然而,差異並不止於此。為了定義局部有界有理函數集合的零點集,有必要將這些函數視為半代數連續弧的弧空間上的函數。這些函數與規則函數的另一個重要共同點是存在洛亞iewicz 型不等式(定理 4.24、4.26 和 5.2)。
在維數大於或等於 3 的情況下,X 的給定子集上為零的局部有界有理函數集可能不是理想。然而,在二維情況下,作為局部有界有理函數的不確定軌跡的餘維數至少為 2(因此僅由孤立點組成)的直接結果,可以構造出人們期望從其他函數類別(例如規則函數)中得到的通常的代數幾何詞典,並恢復諸如零點定理之類的結果(定理 5.12)。