Kernekoncepter
Die Entropiezahlen quantifizieren den Kompaktheitsgrad linearer Operatoren zwischen quasi-Banach-Räumen. In dieser Arbeit wird das asymptotische Verhalten der Entropiezahlen für natürliche Einbettungen zwischen endlichdimensionalen Lorentz-Räumen in allen Regimes bestimmt. Die Ergebnisse sind bis auf Konstanten scharf.
Resumé
Die Arbeit untersucht das asymptotische Verhalten der Entropiezahlen von Einbettungen zwischen endlichdimensionalen Lorentz-Räumen. Entropiezahlen sind ein wichtiges Konzept in der Funktionalanalysis mit Anwendungen in vielen Bereichen wie Signalverarbeitung, Approximationstheorie und Maschinellem Lernen.
Die Hauptergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:
Für den Fall p ≠ q < ∞ stimmen die Entropiezahlen mit denen der Einbettungen zwischen Lebesgue-Folgenräumen überein.
Für q < p = ∞ und p < q = ∞ werden scharfe asymptotische Abschätzungen hergeleitet, die zusätzlich logarithmische Faktoren enthalten.
Für den Fall p = q < ∞ werden die Fälle u ≤ v und u > v unterschieden, wobei im zweiten Fall ebenfalls logarithmische Faktoren auftreten.
Für p = q = ∞werden wiederum die Fälle u ≥ v und u < v unterschieden, mit analogen Beobachtungen wie im Fall p = q < ∞.
Die Beweise verwenden Techniken wie Interpolation, Volumenvergleiche sowie Methoden aus der Approximationstheorie und kombinatorische Argumente.
Statistik
Die Entropiezahlen ek(id: ℓn_p,u → ℓn_q,v) verhalten sich asymptotisch wie:
Für p ≠ q < ∞: ek ≍ ek(id: ℓn_p → ℓn_q)
Für q < p = ∞: ek ≍ 2^(-k/n) n^(1/q) (log n)^(-1/u)
Für p < q = ∞: ek ≍ 1 (k ≤ log n), ℓ(k,n)^(-1/p) log(ℓ(k,n))^(1/v) (log n ≤ k ≤ n), 2^(-k/n) n^(-1/p) (log n)^(1/v) (k ≥ n)
Für p = q < ∞ und u ≤ v: ek ≍ 2^(-k/n)
Für p = q < ∞ und u > v: ek ≍ (log(n/k+1))^(1/v-1/u) (k ≤ n), 2^(-k/n) (k ≥ n)
Für p = q = ∞ und u ≥ v: ek ≍ 2^(-k/n) (log n)^(1/v-1/u)
Für p = q = ∞ und u < v: ek ≍ 1 (k ≤ log n), log(ℓ(k,n))^(1/v-1/u) (log n ≤ k ≤ n), 2^(-k/n) (log n)^(1/v-1/u) (k ≥ n)
Dabei ist ℓ(k,n) := k / log(n/k+1) für log n ≤ k ≤ n.
Citater
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