Kernekoncepter
Der Artikel entwickelt computergestützte Werkzeuge, um selbstähnliche Lösungen semilinearer partieller Differentialgleichungen auf $H^2(e^{|x|^2/4},\mathbb{R}^d)$ präzise zu beschreiben und deren Existenz zu beweisen.
Resumé
Der Artikel befasst sich mit der Untersuchung semilinearer partieller Differentialgleichungen der Form $Lu = f(x, u, \nabla u)$, wobei $L = -\Delta - x \cdot \nabla$ ist. Solche Gleichungen treten natürlich in verschiedenen Kontexten auf, insbesondere bei der Suche nach selbstähnlichen Lösungen parabolischer partieller Differentialgleichungen.
Der Artikel entwickelt eine allgemeine Methodik, die es nicht nur erlaubt, die Existenz von Lösungen zu beweisen, sondern diese auch sehr präzise zu beschreiben. Dazu wird ein Spektralansatz auf Basis einer Eigenbasis von $L$ in Kugelkoordinaten verwendet, zusammen mit einer Quadraturmethode zur Behandlung der Nichtlinearitäten, um genaue Näherungslösungen zu erhalten. Anschließend wird ein Newton-Kantorovich-Argument in einem geeigneten gewichteten Sobolevraum verwendet, um die Existenz einer nahe gelegenen exakten Lösung zu beweisen.
Die Methode wird auf nichtlineare Wärmeleitungsgleichungen, nichtlineare Schrödingergleichungen und eine verallgemeinerte viskose Burgers-Gleichung angewendet, um sowohl radial-symmetrische als auch nicht-radiale selbstähnliche Profile zu erhalten.
Statistik
Die Lösung $u^$ der Gleichung (4) für $d=2$, $p=5/3$ und $\varepsilon=1$ erfüllt $|u^ - \bar{u}|{H^2(\mu)} \leq 1.6 \times 10^{-23}$.
Die Lösung $\phi^$ der Gleichung (7) für $d=2$, $\varepsilon=-1$ und $\omega=-5/2$ erfüllt $|\phi^ - \bar{\phi}|{H^2(\mathbb{R}^2)} \leq 3.8 \times 10^{-8}$.
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